Dizemos que duas matrizes comutam se satisfazem . Considere o conjunto de todas as matrizes que comutam com
Mostre que é um subespaço vetorial de .
Passo 1
Letra
Para verificar se é um subespaço vetorial de temos que usar o teorema:
Sabendo que, que o elemento do nossos conjunto é o , então devemos usá-lo nas contas.
Passo 2
Se , ou seja, se é a matriz nula, satisfaz as condições de ??
Como satisfaz as condições do conjunto, então .
Se , então ?
Lado esquerdo:
Lado direito:
Lembre-se que , então eles também comutam!
Assim vemos que está fechado para soma!
Passo 3
-
Se , então ?
Lado esquerdo:
Lado direito:
Mas como , então comuta com :
Como provamos as três condições do nosso teorema, então é um subespaço vetorial de .
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)