Dizemos que duas matrizes comutam se satisfazem . Considere o conjunto de todas as matrizes que comutam com

Seja uma matriz inversível e . Mostre que a transformação linear definida por é uma bijeção de para .

(Dica: Verifique o contra-dominio de e exiba a transformação inversa .)

Vamos fazer a primeira proposição:

Se , então

Assim, vamos testar se:

:

:

Mas como , pode comutar com :

Como Achamos que:

Relaxa ainda não porque ainda temos que provar a volta!

Se , então

Se olharmos para nossa podemos perceber que ela pega uma matriz e transformar em uma de novo, então:

Assim, é possível que ela tenha uma inversa.

Agora vamos verificar se ela é bijetiva e primeiramente se é injetiva:

Bom como sabemos que não é nula, o único jeito de zerarmos é com , portanto sim ela é injetiva.

Agora, pela teorema do núcleo imagem:

Como ela’e injetiva, , e como , já que , então e portanto é subjetiva. Então, se ela é injetiva e sobrejetiva é bijetiva.

Tá blz, mas quem seria essa ??

Vamos pensar, o que a faz é na verdade escrever uma matriz como semelhante de uma , assim:

Então a inversa seria a que faz o contrário, a que nos dá a matriz :

Então:

Agora, apenas por uma questão de conveniência vou utilizar a matriz no resto do exercício no lugar da , mas não teria problema algum se quisesse trocar tudo pra (Lembre-se que é apenas uma letra, o importante é que seja uma matriz XD)

Se , então

:

Mas pera, quem é a nesse caso? Bom é só isolarmos assim como fizemos com .

Continuando...

:

Mas como , então comuta com :

Como achamos que:

E finalmente provamos a questão :D.