A5 T6
Dizemos que duas matrizes comutam se satisfazem . Considere o conjunto de todas as matrizes que comutam com
Considere agora o caso particular das matrizes e .
Mostre que existe uma matriz invertível tal que .
(Observação: é possível mas não é necessário calcular a matriz , nem .)
Mostre que se uma matriz comuta com , então é diagonal.
Passo 1
Letra
Vamos entender o e enunciado antes. Lembra o que significa diagonalizar uma matriz?? De acordo com a definição significa que ela deve ser semelhante a uma matriz diagonal, e semelhança de matrizes é exatamente a fórmula da questão!
Ou seja, se conseguirmos achar uma matriz diagonal e uma que seja inversível, então podemos dizer que é semelhante a , mas como no caso é diagonal... então podemos dizer que é diagonalizável.
Passo 2
Então agora a pergunta muda para, “Mostre que é diagonalizável”, pois se for irá satisfazer as condições do enunciado. Mas como o enunciado nos disse que a matriz possui dois números diferentes em sua diagonal, então quer dizer que ela possui dois autovalores diferentes, ou seja, seus autovetores são , então temos autovetores , e se considerarmos essa uma em alguma base, ela seria diagonalizável, pois possui uma base de autovetores para o seu domínio e assim, temos que todas as representações de são também e portanto a . Logo existe sim uma matriz que satisfaz o enunciado, pois é diagonalizável.
Passo 3
Letra
Seja
Tá então temos que provar que:
Como dessa vez temos a matriz , vamos resolver as duas equações e achar a de fato:
Agora, como a primeira e a ultima equações não nos disseram o valor de nem então eles pode ser quais números reais. Mas achamos que nesse caso, , e isso nos leva a uma matriz assim:
Logo acabamos de achar que é diagonal.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)