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Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma TL

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Enunciado

A2 T16 T17, A5 T2

Considere a transformação linear T : R 3 ⟶ R 3 dada por

T x , y , z = ( x - y , x - z , y + z )

E denote T 2 = T ∘ T e T 3 = T ∘ T 2 .

Agora considere v = ( 1,0 , 0 ) . Note que β = v , T v , T 2 v é uma base de R 3 e sejam a 0 ,   a 1 ,   a 2 as coordenadas de T 3   ( v ) na base β .

( b ) Escreva a matriz A = T β em função de a 0 ,   a 1 ,   a 2 .

( c ) Calcule o polinômio característico de A . (Pode deixar em função dos a i ' s .)

( d ) Determine em função dos a i ' s um polinômio p ∈ P 3 , p x = b 0 + b 1 x + b 2 x 2 + b 3 x 3 tal que p A = b 0 I + b 1 A + b 2 A 2 + b 3 A 3 = 0 .

(Dica: observe que T 3 v = a 0 v + a 1 T v + a 2 T 2 ( v ) .)

Passo 1

Letra ( b )

Para escrever a matriz precisamos calcular a imagem de cada um dos vetores da base β e depois as coordenadas da imagem de cada um desses vetores nessa mesma base.

T v = T 1,0 , 0 = 1,1 , 0

T T v = T 2 ( v ) = T 1,1 , 0 = 0,1 , 1

T T 2 v = T 3 v = T 0,1 , 1 = - 1 , - 1,2

De fato, não precisávamos ter calculado as imagens, pois sabemos que T ( v ) é o segundo vetor da base, T 2 ( v ) é o terceiro vetor da base e pelo enunciado sabemos quais são as coordenadas de T 3 ( v ) na base β , sendo assim nossa matriz fica:

T β = 0 0 a 0 1 0 a 1 0 1 a 2

Passo 2

Letra ( c )

Para calcular o polinômio característico:

T β - λ I = - λ 0 a 0 1 - λ a 1 0 1 a 2 - λ

p λ = det ⁡ T β - λ I = λ 2 a 2 - λ + a 0 + a 1 λ ⇒

p λ = λ 2 a 2 - λ 3 + a 0 + a 1 λ ⇒

p λ = a 0 + a 1 λ + a 2 λ 2 - λ 3

Passo 3

Letra ( d )

Bom, o enunciado pede um polinômio p x = b 0 + b 1 x + b 2 x 2 + b 3 x 3 , em função dos a i ' s então podemos usar o polinômio característico e assim:

b 0 = a 0

b 1 = a 1

b 2 = a 2

b 3 = - 1

Passo 4

Agora vamos verificar se satisfaz a condição do enunciado:

p A = a 0 I + a 1 A + a 2 A 2 - A 3

Assim, daria muito trabalho para fazer a conta. Vamos tentar usar a dica:

T 3 v = a 0 v + a 1 T v + a 2 T 2 ( v )

Mas lembra daquela fórmula matricial das T L ?

T β v β = T v β

Então podemos substituir na dica:

T 3 β v β = a 0 v β + a 1 T β v β + a 2 T 2 β v β

Passo 5

Agora, eu sei que dá muita vontade de cortar o v β mas não pode! Pois além disso ser um vetor-matriz, não podemos dividi-lo, e nem invertê-lo (nem todas as matrizes admitem inversa), então vamos deixar do jeito que está. Outra coisa importante de se lembrar é que:

T β ⋅ T β = T ∘ T β = T 2 β = T β 2

E aplicando essa mesma ideia, podemos reescrever a dica como:

T β 3 v β = a 0 v β + a 1 T β v β + a 2 T β 2 v β ⇒

A 3 v β = a 0 v β + a 1 A v β + a 2 A 2 v β

Agora vamos voltar para o nosso polinômio:

p A = a 0 I + a 1 A + a 2 A 2 - a 3 A 3

E vamos multiplicar por v β a esquerda dos dois lados:

p A ⋅ v β = a 0 I v β + a 1 A v β + a 2 A 2 v β - A 3 v β

Passo 6

Entretanto, com a dica podemos substituir A 3 v β no polinômio:

p A ⋅ v β = a 0 I v β + a 1 A v β + a 2 A 2 v β - a 0 v β + a 1 A v β + a 2 A 2 v β ⇒

p A ⋅ v β = 0

Como sabemos que v β é não nulo, então p A = 0 .

Resposta

b) T β = 0 0 a 0 1 0 a 1 0 1 a 2

c)   p λ = a 0 + a 1 λ + a 2 λ 2 - λ 3

d) O polinômio é o polinômio característico.

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