Listas de Cálculo 1 - UNICAMP (MA111) de Cálculo 1 da UNICAMP - Lista 6

(1) Prove, usando a definição de derivada, que se então para .

(2) Para cada , seja . Usando a definição de derivada, prove que . [Sugestão: use o teorema binomial.]

(3) Usando a definição de derivada, prove que

(a) se , onde é uma constante, então .

(3) Usando a definição de derivada, prove que

(b) se , então .

(3) Usando a definição de derivada, prove que

(c) Ilustre os dois casos com o esboço de gráficos.

(4) (a) Suponha que . Usando a definição de derivada, prove que .

(4) (b) Suponha que . Usando a definição de derivada, prove que .

(8) Suponha que é diferenciável em . Mostre que

Até mesmo os grandes gênios da humanidade às vezes se equivocam. No início dos

seus estudos sobre os corpos em queda, em uma carta2 a P. Sarpi em 16 de outubro de

1604, Galileo escreveu “[...] gli spazzii passati dal moto naturale esser in proporzione

doppia dei tempi [...] il mobile naturale vadia crescendo di velocit`a con quella proportione

che si discosta dal principio del suo moto [...]”.

1. Prove que Galileo se equivocou: se um corpo cai uma distância em t segundos, e s’ é proporcional a s, então s não pode ser uma função da forma .

Até mesmo os grandes gênios da humanidade às vezes se equivocam. No início dos

seus estudos sobre os corpos em queda, em uma carta2 a P. Sarpi em 16 de outubro de

1604, Galileo escreveu “[...] gli spazzii passati dal moto naturale esser in proporzione

doppia dei tempi [...] il mobile naturale vadia crescendo di velocit`a con quella proportione

che si discosta dal principio del suo moto [...]”.

b) Mostre que os seguintes fatos são verdadeiros a respeito de s se : (i)s′′(t) = a (a aceleração é constante); (ii) .

Seja . Se f satisfaz então f é diferenciavel em 0.

(a) Suponha que (i) , (ii) para todo x, e (iii). Prove que g é diferenciavel em a e que .

(b) Mostre que a conclusão não segue se omitimos a hipótese .