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Exercícios Resolvidos de Definição de Derivadas

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Enunciado

UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - UNICAMP (MA111) - Lista 6, Questão 2

(2) Para cada n ∈ N , seja S n x = x n . Usando a definição de derivada, prove que S n ' x = n x n - 1 . [Sugestão: use o teorema binomial.]

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está um pouco complicada essa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema temos que provar que se S n x = x n , então S n ' x = n x n - 1 pela definição de derivada.

Parece complicado, não é? 🤔

A derivada de uma função pela definição é obtida a partir da equação

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h

Então se aplicarmos essa definição para S n x temos que provar que a igualdade S n ' x = n x n - 1 é válida.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Pela definição de derivadas, temos

S n ' x = lim h → 0 ⁡ x + h n - x n h

Para abrir o polinômio x + h n vamos usar o teorema binomial (ou teorema de Newton) que nos diz que

x + h n = ∑ i = 0 n n i x n - i h i

Onde n é o maior expoente e i é os demais expoentes de acordo com a iteração.

Vamos começar escrevendo alguns termos desse somatório...

Para i = 0

x + h n = x n

Para i = 1

x + h n = n x n - 1 h

Para i = 2

x + h n = n n - 1 2 x n - 2 h 2

Dessa forma podemos escrever nosso polinômio como

x + h n = x n + n x n - 1 h + n n - 1 2 x n - 2 h 2 + …

Substituindo na equação da derivada...

S n ' x = lim h → 0 ⁡ x n + n x n - 1 h + n n - 1 2 x n - 2 h 2 + … - x n h

Simplificando x n com - x n

S n ' x = lim h → 0 ⁡ n x n - 1 h + n n - 1 2 x n - 2 h 2 + … h

Tranquilo até aqui? 😊

Passo 3

Agora perceba que conforme i aumenta nossa iteração segue com h cada vez com expoente maior como vemos em

x + h n = ∑ i = 0 n n i x n - i h i

Assim, se colocarmos h em evidencia e simplificar com o numerador, vamos obter

S n ' x = lim h → 0 ⁡ h n x n - 1 + n n - 1 2 x n - 2 h + … h

S n ' x = lim h → 0 ⁡ n x n - 1 + n n - 1 2 x n - 2 h + …

Fazendo h = 0 todos os termos com i > 1 serão 0 já que haverá um h o multiplicando...

Portanto o que sobra é apenas

S n ' x = lim h → 0 ⁡ n x n - 1 + n n - 1 2 x n - 2 h + … = n x n - 1

S n ' x = n x n - 1

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

S n ' x = n x n - 1

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