Até mesmo os grandes gênios da humanidade às vezes se equivocam. No início dos

seus estudos sobre os corpos em queda, em uma carta2 a P. Sarpi em 16 de outubro de

1604, Galileo escreveu “[...] gli spazzii passati dal moto naturale esser in proporzione

doppia dei tempi [...] il mobile naturale vadia crescendo di velocit`a con quella proportione

che si discosta dal principio del suo moto [...]”.

b) Mostre que os seguintes fatos são verdadeiros a respeito de s se s   =   a 2 t 2 : (i)s′′(t) = a (a aceleração é constante); (ii) s ' t 2   =   2 a s ( t ) .

Passo 1

Olá meu caro colega, hoje é hora de provar que os dois fatos sobre s são verdadeiros. Vamos começar pelo primeiro então. Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de s ( t ) em relação a t:

s ' t = d d t a 2 t 2 = a t

Agora, calculemos a segunda derivada em relação a t:

s ' ' t = d d t a t = a

Concluímos que a segunda derivada de s ( t ) em relação a t é constante e igual a a , que é a aceleração.

Passo 2

Já calculamos s ' t = a t anteriormente, agora iremos calcular s ' t 2 :

= a t 2 = a 2 t 2

Agora substituindo s t = a 2 t 2 na equação

2 a s t = 2 a a 2 t 2 = a 2 t 2

E aqui terminamos nossa prova, forte abraço e até uma próxima.

Resposta

Ver o desenvolvimento.

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