UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - UNICAMP (MA111) - Lista 6, Questão 6
Seja . Se f satisfaz então f é diferenciavel em 0.
Passo 1
Olá caro estudante, hoje iremos provar essa proposição que nos foi proposta. Para mostrar que é diferenciável em x=0, podemos usar a definição de diferenciabilidade e demonstrar que o limite abaixo existe:
Dado que sabemos que . Agora, vamos analisar a expressão para
Passo 2
Dividindo ambos os lados por
Agora, vamos considerar o limite quando h se aproxima de zero:
Pela propriedade do limite, o lado esquerdo é igual a então temos:
No entanto, o valor absoluto de uma função não pode ser negativo, então a única opção é , o que implica que .
Passo 3
Portanto, com , concluímos que f é diferenciavel em .
Resposta
Ver o desenvolvimento.
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