Seja α > 1 . Se f satisfaz f(x) ≤ |x|^α então f é diferenciavel em 0.

Passo 1

Olá caro estudante, hoje iremos provar essa proposição que nos foi proposta. Para mostrar que f é diferenciável em x=0, podemos usar a definição de diferenciabilidade e demonstrar que o limite abaixo existe:

f ' 0 = lim h → 0 ⁡ f 0 + h - f ( 0 ) h

Dado que f x ≤ x α ,   sabemos que f 0 = 0 . Agora, vamos analisar a expressão f ( h ) para h   ≠ 0 :

f h ≤ h α

Passo 2

Dividindo ambos os lados por | h |

f h h ≤ h α - 1

Agora, vamos considerar o limite quando h se aproxima de zero:

lim h → 0 ⁡ | f h | | h | ≤ lim h → 0 ⁡ h α - 1 = 0

Pela propriedade do limite, o lado esquerdo é igual a f ' 0 , então temos:

f ' 0 ≤ 0

No entanto, o valor absoluto de uma função não pode ser negativo, então a única opção é f ' 0 = 0 , o que implica que f ' 0 = 0 .

Passo 3

Portanto, com f ' 0 = 0 , concluímos que f é diferenciavel em x = 0 .

Resposta

Ver o desenvolvimento.

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