UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - UNICAMP (MA111) - Lista 6, Questão 5a
Até mesmo os grandes gênios da humanidade às vezes se equivocam. No início dos
seus estudos sobre os corpos em queda, em uma carta2 a P. Sarpi em 16 de outubro de
1604, Galileo escreveu “[...] gli spazzii passati dal moto naturale esser in proporzione
doppia dei tempi [...] il mobile naturale vadia crescendo di velocit`a con quella proportione
che si discosta dal principio del suo moto [...]”.
- Prove que Galileo se equivocou: se um corpo cai uma distância em t segundos, e s’ é proporcional a s, então s não pode ser uma função da forma .
Passo 1
Olá meu caro colega estudante, hoje voce tem uma oportunidade rara de corrigir um erro de Galileo, isso mesmo. Galileo afirmou que "gli spazzii passati dal moto naturale esser in proporzione doppia dei tempi" e "il mobile naturale vadia crescendo di velocit`a con quella proportione che si discosta dal principio del suo moto". Em tradução livre, isso significa que ele acreditava que os espaços percorridos por um corpo em queda livre eram proporcionais ao quadrado do tempo, e que a velocidade aumentava com uma proporção que se afastava do início do movimento.
Passo 2
A forma da função de queda livre que ele propôs é , onde s(t) é a distância percorrida pelo corpo em t segundos, e c é uma constante. Vamos agora analisar essa função e ver se ela está de acordo com as afirmações de Galileo.
Se , então a velocidade v(t) do corpo é a derivada da posição em relação ao tempo:. Aceleração a(t) é a derivada da velocidade em relação ao tempo: . Portanto, a aceleração é constante e não se afasta do início do movimento como Galileo afirmou.
Passo 3
Como mencionado acima, a velocidade é linearmente proporcional ao tempo t, não mostrando a característica de aumentar com uma proporção que se afasta do início.
Resposta
Ver o desenvolvimento.