UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - UNICAMP (MA111) - Lista 6, Questão 7a
(a) Suponha que (i) , (ii) para todo x, e (iii). Prove que g é diferenciavel em a e que .
Passo 1
Olá meu amigo, hoje iremos realizar algumas provas. Venha comigo que é só sucesso!! Pela hipótese (i), sabemos que , o que implica que a é um ponto comum nos domínios de f, g e h. A desigualdade para todo x implica que g está limitada entre f e h, o que significa que está "preso" entre duas funções que têm o mesmo valor e, portanto, não pode oscilar de forma descontrolada.
Agora, usando o Teorema do Valor Intermediário para Derivadas (também conhecido como Teorema de Darboux), sabemos que se uma função está limitada entre duas outras funções que têm a mesma derivada em um ponto, então a função intermediária também tem a mesma derivada nesse ponto.
Passo 2
Como e (hipótese (iii)), pelo Teorema de Darboux, podemos concluir que g é diferenciável em e que .
Portanto, g é diferenciável em e . Essencialmente, o Teorema de Darboux garante que, mesmo que g esteja "preso" entre f e ℎ, a derivada de g não pode "pular" o valor h’(a) e deve ser contínua entre as derivadas de e ℎ no ponto a.
Resposta
Ver o desenvolvimento.