(4) (a) Suponha que g(x) = f(x + c) . Usando a definição de derivada, prove que g'(x) = f'(x + c) .

Passo 1

Iae! Como vai, meu querido? 😁 Bora aprender mais uma questão? 😉

Nesse problema temos que provar que se g x = f x + c , sendo c uma constante, que g ' x = f ' x + c pela definição de derivada.

Parece complicado, não é? 🤔

A derivada de uma função pela definição é obtida a partir da equação

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h

Então se aplicarmos essa definição para g x temos que provar que a igualdade g ' x = f ' x + c é válida.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Vamos começar aplicando a equação da derivada para a função g x ...

g ' x = lim h → 0 ⁡ g x + h - g x h

Se g x = f x + c então g x + h = f x + c + h

g ' x = lim h → 0 ⁡ f x + c + h - f x + c h

Da definição de derivada mostrada no passo 1, se fizermos x = x + c , então

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h → f ' x + c = lim h → 0 ⁡ f x + c + h - f x + c h

Comparando g ' x com f ' x + c vemos que ambas as derivadas são iguais, portanto

g ' x = lim h → 0 ⁡ f x + c + h - f x + c h = f ' x + c

g ' x = f ' x + c

Pegou o esquema? Responde Aí! 😁

Resposta

g ' x = f ' x + c

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