P2 de Cálculo 3 da UFRJ - 2017.2

(2) O valor da integral da função escalar sobre a superfície é:

(1) Uma função potencial para o campo vetorial é:

(3) O valor da integral do campo vetorial ao longo da curva parametrizada por , , é:

(4) O fluxo do campo vetorial através da superfície do sólido , orientada com o vetor normal apontando para fora, é igual a:

(8) Seja a superfície definida pela parametrização , , . Um vetor normal à superfície e unitário é dado por:

(5) Seja , e positivos. O fluxo do campo vetorial através da superfície do triângulo plano com vértices em , e , orientada com normal cuja coordenada é positiva, é igual a:

(7) Seja e a curva definida como a intersecção do cilindro com o plano . Para calcular , usando o teorema de Stokes, podemos considerar a seguinte superfície:

1. A parte lateral do cilindro , onde
2. O disco no plano
3. A parte do paraboloide , onde
4. A parte da esfera , onde
5. A parte da esfera , onde

(6) Considere , e tais que . A área da parte da superfície , , que fica dentro do cilindro é:

Questão 1) Calcular a área da parte da superfície que está dentro da região .

Seja a curva de interseção do cone com o plano , orientada no sentido anti-horário quando vista de cima do eixo . Usando o teorema de Stokes, calcular se