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Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R³

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Enunciado

(3) O valor da integral do campo vetorial F → = x - 3 ,   y ,   z ao longo da curva C parametrizada por cos ⁡ t , sin ⁡ t , sin 2 ⁡ t , 0 ≤ t ≤ π , é:

  1. 6
  2. 2 π
  3. 3 π
  4. - 6
  5. - 3 π

Passo 1

Montemos primeiro a integral que o problema quer que calculemos e como ele quer uma integral de uma função vetorial e sobre uma curva no espaço, o que ele que então é uma integral de linha:

∫ C   F → ∙ d r →  

Como toda e boa integral de superfície seguiremos um passo a passo:

  1. Parametrizar a curva C pedida no problema
  2. Encontrar o termo d r →
  3. Substituir os termos da parametrização em f

E aí? Bora? :D

Passo 2

Para a nossa felicidade, a curva já está parametrizada:

γ t = cos ⁡ t , sin ⁡ t , sin 2 ⁡ t

onde

0 ≤ t ≤ π

Bem, então vamos encontrar o termo d r → .   Para encontra-lo, basta que apliquemos a fórmula:

d r → = γ ' t d t

γ t = cos ⁡ t , sin ⁡ t , sin 2 ⁡ t       →           γ ' t = - sin ⁡ t , cos ⁡ t , 2 sin ⁡ t cos ⁡ t

Então

d r → = - sin ⁡ t , cos ⁡ t , 2 sin ⁡ t cos ⁡ t d t

Passo 3

Substituindo agora a função vetorial pelos termos da parametrização:

γ t = cos ⁡ t , sin ⁡ t , sin 2 ⁡ t

F → = x - 3 ,   y ,   z       →             F → = cos ⁡ t - 3 , sin ⁡ t , sin 2 ⁡ t

Passo 4

Regressando a integral que queremos calcular

∫ C   F → ∙ d r →  

E trocando os ingredientes que obtivemos anteriormente...

∫ C   F → ∙ d r →   = ∫ 0 π cos ⁡ t - 3 , sin ⁡ t , sin 2 ⁡ t ∙ - sin ⁡ t , cos ⁡ t , 2 sin ⁡ t cos ⁡ t d t  

Não se esqueça desse produto escalar de dois vetores aí, heim...

∫ 0 π - sin ⁡ t cos ⁡ t + 3 sin ⁡ t + sin ⁡ t cos ⁡ t + 2 sin 3 ⁡ t cos ⁡ t   d t  

∫ 0 π + 3 sin ⁡ t + 2 sin 3 ⁡ t cos ⁡ t   d t   =

∫ 0 π 3 sin ⁡ t   d t   + ∫ 0 π 2 sin 3 ⁡ t cos ⁡ t   d t   =

A primeira integral é direta:

3 - cos ⁡ π - - cos ⁡ 0 + ∫ 0 π 2 sin 3 ⁡ t cos ⁡ t   d t   =

3 1 + 1 + 2 ∫ 0 π sin 3 ⁡ t cos ⁡ t   d t   =

Para resolver essa segunda integral, fazemos uma substituição...

sin ⁡ t = u     →      

d u = cos ⁡ t d t

Não esqueça dos limites...

t = 0     →         u = sin ⁡ 0 = 0

t = π     →         u = sin ⁡ π = 0

Como os limites são os mesmos e a função é contínua, essa integral será zero...

6 + 2 ∫ 0 π sin 3 ⁡ t cos ⁡ t   d t   = 6 + 0 =

6

Resposta

a )       6

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Nos exercícios 18 a 25, calcular as integrais curvilíneas dadas:24. ∫ C y d x + z d y - x y d z , onde C é dada por y = s e nx ; z = 4 ; x ∈ [ 0,2 π ] .
Nos exercícios 18 a 25, calcular as integrais curvilíneas dadas:22. ∫ C d x + d y + d z , onde C é a intersecção das superfícies y + z = 5 e z = 4 - x 2 do ponto A ( 2 ,5 ,0 ) ao ponto B ( - 2 ,5 ,0 )
Calcule ∫ γ d x + x y d y + zd z , onde γ é a interseção de x 2 + y 2 + z 2 = 2 ,x ≥ 0 ,y ≥ 0 e z ≥ 0 , com o plano y = x ; o sentido do percurso é do ponto 0,0 , 2 para 1,1 , 0 .
Calcule a integral de linha ∫ C F → ∙ d r → , onde C é dada pela função vetorial r → t . F → x ,y = x + yi ^ + y - z j ^ + z 2k ^ r → t = t 2i ^ + t 3j ^ + t 2k ^ , 0 ≤ t ≤ 1
Determine uma função f tal que F → = ∇ f e Use a parte (a) para calcular ∫ C F → ⋅ d r → sobre a curva C dada. F → x , y = y 2 c o s c o szi → + 2 x y c o szj → - x y 2 s e nz k → ,C : r → t = t 2 i →