(5) Seja , e positivos. O fluxo do campo vetorial através da superfície do triângulo plano com vértices em , e , orientada com normal cuja coordenada é positiva, é igual a:
Passo 1
Montemos primeiro a integral que o problema quer que calculemos e como ele quer um fluxo de uma função vetorial sobre uma superfície, só pode ser uma integral de superfície no caso vetorial !
Vamos lá, teremos que calcular essa integral de superfície aí na marra, mas não se preocupe que o passo a passo de resolução do modo diretão sempre nos ajuda ;)
- Parametrizar a superfície pedida no problema
- Encontrar o termo
E aí? Bora? :D
Passo 2
Primeiro precisamos parametrizar a superfície, mas quem é ela afinal?
Ora, basta seguir o enunciado que nos diz que a superfície é um triângulo com esses três pontos (, e ) no espaço:
Muito bem, então essa é a superfície (o plano):
Agora repare que não temos a sua equação, mas podemos encontrar, sabendo que a equação geral do plano no espaço é:
Substituindo esses três pontos nessa equação, podemos encontrar a equação dele:
Jogando o outro ponto...
Como , então
Só falta o outro ponto...
isolando um deles...
e jogando na equação do plano que sabemos até agora ser ...
Eis que esse é o plano
Passo 3
Para parametriza-lo, como ele possoi uma equação explícita, podemos parametrizar utilizando a parametrização explícita, onde o e o variam livremente...
Ou seja...
onde e variam na projeção dessa superfície no plano :
Por hora, vamos só falar que eles variam nesse triângulo aí ok?
Passo 4
Temos agora que calcular o termo ...
O vetor normal, como parametrizamos explicitamente como gráfico de função ( em função de e ), podemos calcula-lo utilizando o bizu:
Como ...
Passo 5
Voltando para a integral que devemos resolver...
e trocarmos pelos ingredientes que encontramos até agora...
Observe que trocamos por , afinal agora iremos resolver uma integral dupla no domínio de e . Mas, primeiro resolvendo esse produto escalar de dois vetores...
Como é uma integral iterada seu resultado é...