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P3 de Cálculo 4 da USP - 2016

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Cálculo 4 - USP

O desenvolvimento em série de potências da função

f x = ∫ 0 x e - t 2 d t

Centrada no x = 0 e o respectivo intervalo de convergência I são:

a   ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1 n !   ,     I = R

b   ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 n + 1 ( 2 n ) !   ,     I = R

c   ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n n + 1 ( 2 n ) !   ,     I = R

d   ∑ n = 0 ∞ - 1 n + 1 x 2 n 2 n + 1 n !   ,     I = R

e   ∑ n = 0 ∞ - 1 n + 1 x 2 n + 1 2 n + 1 n !   ,     I = R

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Se

∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ π n x 3 = x ,     x ∈ [ 0,3 [

Então o valor de b n para n ∈ N é:

a   b n = 2 - 1 n + 1 π n

b   b n = 3 - 1 n + 1 π n

c   b n = 3 - 1 n π n

d   b n = 6 - 1 n + 1 π n

e   b n = 6 - 1 n π n

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A soma da série

∑ n = 1 ∞ n + 1 n x n

Para x ∈ ] - 1,1 [ é:

a ln ⁡ 1 - x + x 1 - x

b ln ⁡ 1 + x + x 1 + x

c - ln ⁡ 1 + x - x 1 + x

d - ln ⁡ 1 - x + x 1 - x

e - ln ⁡ 1 - x - x 1 - x

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Seja a função

f x = x 2 + 1 ,     0 < x < π x ,     - π < x < 0

A soma S ( x ) da série de Fourier de f no intervalo [ - π , π ] é:

a   S ( x ) = x 2 + 1 ,     0 < x < π x ,     - π < x < 0 1 2 ,     x = 0 π 2 + 1 + π ,     x = ± π

b   S ( x ) = x 2 + 1 ,     0 < x < π x ,     - π < x < 0 1 2 ,     x = 0 π 2 + 1 - π 2 ,     x = ± π

c   S ( x ) = x 2 + 1 ,     0 < x < π x ,     - π < x < 0 π 2 + 1 - π 2 ,     x = ± π

d   S ( x ) = x 2 + 1 ,     0 < x < π x ,     - π < x < 0 1 2 ,     x = 0

e   S ( x ) = x 2 + 1 ,     0 < x < π x ,     - π < x < 0 1 2 ,     x = 0 π 2 + 1 + π 2 ,     x = ± π

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Sabe-se que

x π - x = 8 π ∑ n = 1 ∞ sen ⁡ 2 n - 1 x 2 n - 1 3 ,     0 < x < π

O valor de

∑ n = 1 ∞ 1 2 n - 1 6

É:

a   π 4 15

b   π 6 60

c   π 4 64

d   π 4 390

e   π 6 960

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Se f x = x 2 c o s ⁡ ( 3 x ) então sua derivada de ordem 2016 no zero, f 2016 0 é:

a - 3 2016 2015.2016

b   3 2016 201 4 . 201 5

c - 3 201 4 2015.2016

d - 3 201 4 201 4 . 201 5

e   3 201 4 201 4 . 201 5

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Seja f : - 2,2 → R uma função ímpar, contínua, C 1 por partes com f 1 = 0 e cujo gráfico no intervalo [ 0,2 ] está esboçado a seguir

Sendo S ( x ) sua série de Fourier, analise as afirmações a seguir:

1   S x = S x + 2     p a r a   t o d o   x ∈ R

2   S n = 0   p a r a   t o d o   n ∈ Z

3   S x = f x   p a r a   t o d o   x ∈ ] 0,2 [

Podemos afirmar que:

( a ) Apenas ( 1 ) e ( 2 ) são verdadeiras

( b ) Apenas ( 1 ) e ( 3 ) são verdadeiras

( c ) Apenas ( 2 ) e ( 3 ) são verdadeiras

( d ) Todas as afirmações são verdadeiras

( e ) Nenhuma afirmação é verdadeira

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A soma da série

∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n + 1

é:

a sen ⁡ 1

b π 4

c ln ⁡ 2

d arctan ⁡ 1 2

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A expansão em série de potências centrada no 0 da função f x = ln ⁡ 1 + 3 x 2 e seu respectivo intervalo de convergência I são:

a   ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 3 n x 2 n 2 n ,     p a r a   I = - 3 3 , 3 3

b   ∑ n = 1 ∞ - 1 n 3 n + 1 x 2 n + 1 2 n + 1 ,     p a r a   I = - 3 3 , 3 3

c   ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 3 n + 1 x 2 n + 1 2 n + 1 ,     p a r a   I = ] - 3 3 , 3 3 [

d   ∑ n = 1 ∞ - 1 n 3 n + 1 x 2 n + 2 2 n + 2 ,     p a r a   I = ] - 3 3 , 3 3 ]

e   ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 3 n x 2 n 2 n ,     p a r a   I = [ - 3 3 , 3 3 [

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A soma da série

∑ n = 0 ∞ x + 2 n n + 3 !

Para x ∈ R e x ≠ - 2 é:

a 1 x + 2 2 e x + 2

b 1 x + 2 3 e x + 2

c 1 x + 2 3 e x + 2 - x + 2 2 2

d 1 x + 2 2 e x + 2 - 1 - x + 2

e 1 x + 2 3 e x + 2 - 1 - x + 2 - x + 2 2 2

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A integral

∫ 0 π x - c 1 sen ⁡ x - c 2 sen ⁡ 2 x 2 d x

Assume seu menor valor para c 1 e c 2 , respectivamente iguais a:

a   2   e - 2

b   2   e - 1

c   1   e - 1

d   1   e   0

e - 2   e - 2

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Seja f a função definida por

f x = x 2 , x ∈ [ 0 , π ]

Analise as seguintes afirmações:

1 A série em senos de f é

∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 sen ⁡ n x n

( 2 ) A série de cossenos de f é

π 4 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n cos ⁡ n x n 2 π

( 3 ) A série de cossenos de f para x = π converge para π 2

Podemos afirmar que:

( a ) 1 ,   2   e   ( 3 ) são verdadeiras

( b ) Apenas ( 1 ) e ( 3 ) são verdadeiras

( c ) Apenas ( 2 ) e ( 3 ) são verdadeiras

( d ) Apenas ( 1 ) é verdadeira

( e ) Apenas 3 é verdadeira

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A soma da série

∑ n = 0 ∞ n n - 1 2 n

é:

a 1 4

b 1 2

c   1

d   2

e   4

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Seja f x = 1 2 - x para 0 , 1 2 e S ( x ) a soma da série de senos de f . No intervalo I = 11 2 , 13 2 , S ( x ) é dada por:

a   S x = - 11 2 - x ,     11 2 < x < 12 2 - 13 2 - x ,     12 2 < x < 13 2 0 ,     x = 11 2 , 12 2 , 13 2

b   S x = - 11 2 - x ,     11 2 < x < 12 2 13 2 - x ,     12 2 < x < 13 2 0 ,     x = 11 2 , 12 2 , 13 2

c   S x = 11 2 - x ,     11 2 < x < 12 2 1 2 2 - x ,     12 2 < x < 13 2 0 ,     x = 11 2 , 12 2 , 13 2

d   S x = 11 2 - x ,     11 2 < x < 12 2 13 2 - x ,     12 2 < x < 13 2 0 ,     x = 11 2 , 12 2 , 13 2

e   S x = 11 2 - x ,     11 2 < x < 12 2 - 13 2 + x ,     12 2 < x < 13 2 0 ,     x = 11 2 , 12 2 , 13 2

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