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Exercícios Resolvidos de Derivação e Integração de Séries de Potência

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Enunciado

A soma da série

∑ n = 0 ∞ n n - 1 2 n

é:

a 1 4

b 1 2

c   1

d   2

e   4

Passo 1

Cara, essa série é muito parecida com uma derivada de uma famosa série de Maclaurin! Dá só uma olhada nela:

1 1 - x = ∑ n = 0 ∞ x n ,     x < 1

1 1 - x ' = ∑ n = 0 ∞ n x n - 1 ,     x < 1

1 1 - x ' ' = ∑ n = 0 ∞ n ( n - 1 ) x n - 2 ,     x < 1

DE ONDE VOCÊ TIROU ISSO?

Calma, eu só quis que aparecesse aquele termo n ( n - 1 ) que está presente na série do enunciado. Essas coisas de séries envolvem que você esteja sempre lembrando das séries mais conhecidas!

Passo 2

Vamos calcular o lado esquerdo da equação, ok?

1 1 - x ' = 1 - x - 1 ' = - 1 1 - x 2 - 1 = 1 1 - x 2

1 1 - x ' ' = 1 1 - x 2 ' = 1 - x - 2 ' = - 2 1 1 - x 3 - 1 = 2 1 - x 3

Passo 3

Então, até agora temos:

2 1 - x 3 = ∑ n = 0 ∞ n ( n - 1 ) x n - 2 ,     x < 1

Agora só nos resta fazer aparecer um 2 n no denominador! Vamos escrever assim:

2 1 - x 3 = ∑ n = 0 ∞ n n - 1 x 2 - n ,     x < 1

Se escolhermos x = 2 - 1 , vai facilitar muita coisa, olha só:

2 1 - 2 - 1 3 = ∑ n = 0 ∞ n n - 1 2 - 1 2 - n ,     x < 1

2 1 - 2 - 1 3 = ∑ n = 0 ∞ n n - 1 2 n - 2 ,     x < 1

E eu fiz isso porque eu queria um 2 n , mas o n estava negativo no expoente do x , então fiz x = 2 - 1 = 1 2 só para trocar o sinal e aparecer o cara que eu quero!

Além disso, podemos assumir esse valor para x porque o módulo dele é menor que um.

Passo 4

Vamos fazer as contas do lado esquerdo!

2 1 - 1 2 3 = ∑ n = 0 ∞ n n - 1 2 n - 2

2 1 2 3 = ∑ n = 0 ∞ n n - 1 2 n - 2

2 1 8 = ∑ n = 0 ∞ n n - 1 2 n - 2

16 = ∑ n = 0 ∞ n n - 1 2 n - 2

Passo 5

Maneiro! Agora só falta ajeitar aquele 2 n - 2 . Se queremos apenas   2 n , basta fazer o seguinte:

16 = ∑ n = 0 ∞ n n - 1 2 2 2 n

16 = ∑ n = 0 ∞ n n - 1 4 2 n

16 4 = ∑ n = 0 ∞ n n - 1 2 n

∑ n = 0 ∞ n n - 1 2 n = 4

Resposta

e   4

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