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Exercícios Resolvidos de Teorema da Convergência de Fourier

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Enunciado

Seja a função

f x = x 2 + 1 ,     0 < x < π x ,     - π < x < 0

A soma S ( x ) da série de Fourier de f no intervalo [ - π , π ] é:

a   S ( x ) = x 2 + 1 ,     0 < x < π x ,     - π < x < 0 1 2 ,     x = 0 π 2 + 1 + π ,     x = ± π

b   S ( x ) = x 2 + 1 ,     0 < x < π x ,     - π < x < 0 1 2 ,     x = 0 π 2 + 1 - π 2 ,     x = ± π

c   S ( x ) = x 2 + 1 ,     0 < x < π x ,     - π < x < 0 π 2 + 1 - π 2 ,     x = ± π

d   S ( x ) = x 2 + 1 ,     0 < x < π x ,     - π < x < 0 1 2 ,     x = 0

e   S ( x ) = x 2 + 1 ,     0 < x < π x ,     - π < x < 0 1 2 ,     x = 0 π 2 + 1 + π 2 ,     x = ± π

Passo 1

Aqui a gente só precisa ver como que fica o valor da soma da série de Fourier nos pontos de descontinuidade, que são x = 0 ,   x = ± π .

Pelo Teorema de convergência pontual da série de Fourier temos:

S x o = f x 0 - + f x 0 + 2

Passo 2

Então vamos analisar para cada ponto:

Para x = 0 :

S 0 = f 0 - + f 0 + 2

Mas pela fórmula de f ( x ) :

f x = x 2 + 1 ,     0 < x < π x ,     - π < x < 0

f 0 - = 0

f 0 + = 1

Então:

S 0 = 0 + 1 2 = 1 2

Passo 3

Como x = ± π estão nos extremos da função, temos que:

S ± x 0 = f x 0 - + f - x 0 + 2

Mas pela fórmula de f ( x ) :

f x = x 2 + 1 ,     0 < x < π x ,     - π < x < 0

f π - = π 2 + 1

f - π + = - π

Então:

S ± π = π 2 + 1 - π 2

Resposta

b   S ( x ) = x 2 + 1 ,     0 < x < π x ,     - π < x < 0 1 2 ,     x = 0 π 2 + 1 - π 2 ,     x = ± π

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