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Exercícios Resolvidos de Derivação e Integração de Séries de Potência

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Enunciado

O desenvolvimento em série de potências da função

f x = ∫ 0 x e - t 2 d t

Centrada no x = 0 e o respectivo intervalo de convergência I são:

a   ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1 n !   ,     I = R

b   ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 n + 1 ( 2 n ) !   ,     I = R

c   ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n n + 1 ( 2 n ) !   ,     I = R

d   ∑ n = 0 ∞ - 1 n + 1 x 2 n 2 n + 1 n !   ,     I = R

e   ∑ n = 0 ∞ - 1 n + 1 x 2 n + 1 2 n + 1 n !   ,     I = R

Passo 1

Bom, repara que a nossa f ( x ) é uma integral que não é tão legal de se fazer.

Como ele quer o desenvolvimento em séries, seria muito interessante que a gente escrevesse aquele e - t 2 em forma de série (que cá entre nós, é mais tranquilo que tentar resolver a integral).

Essa exponencial é um pouco diferente daquela que estamos acostumados a ver, dá uma olhada:

e t = ∑ n = 0 ∞ t n n ! ,     I = R

PORÉM, o nosso caso não é esse. Vamos substituir o t por - t 2 , ok? Assim:

e - t 2 = ∑ n = 0 ∞ - t 2 n n ! ,     I = R

Agora tiramos o sinal de negativo de dentro do parênteses:

e - t 2 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n t 2 n n ! ,     I = R

e - t 2 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n t 2 n n ! ,     I = R

Passo 2

Bom, já que escrevemos como série o termo e - t 2 , vamos voltar para f ( x ) :

f x = ∫ 0 x e - t 2 d t ,     I = R

f x = ∫ 0 x ∑ n = 0 ∞ - 1 n t 2 n n ! d t ,     I = R

Podemos passar a integral para dentro do somatório e integrar o termo geral com respeito a t :

f x = ∑ n = 0 ∞ ∫ 0 x - 1 n t 2 n n ! d t ,     I = R

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n t 2 n + 1 2 n + 1 n ! 0 x ,     I = R

E agora substituindo os valores, encontramos:

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1 n !     I = R

Resposta

a   ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1 n !   ,     I = R

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