A expansão em série de potências centrada no da função e seu respectivo intervalo de convergência são:
Passo 1
Bom, quando a gente se depara com uma função logaritmo e quer escrevê-la em série, o que temos que fazer é derivá-la primeiramente:
Passo 2
E agora a nossa intenção é escrever essa derivada da seguinte maneira:
Porque sabe-se que a série geométrica é da forma:
Olhando pro nosso caso:
Vamos arrumar nosso somatório:
Olha ali, já temos o nosso raio de convergência. Daqui a pouco vamos calcular o intervalo!
Passo 3
Agora, o que nos interessa saber é . Então vamos integrar em ambos os lados da equação:
Passo 4
Partiremos para encontrar o intervalo. Só precisamos substituir os valores dos extremos do intervalo na série e ver se ela converge ou diverge para esses valores:
Para :
Aplicado o teste da série alternada:
Note que:
Além disso:
Pelo teste da série alternada, a série converge para
Passo 5
Se você substituir :
Repara que ela é igualzinha a série do passo que a gente acabou de ver que é convergente.
Passo 6
Beleza, parece tudo muito bonito, mas se você observar, não tem essa resposta nas opções.
Mas não se preocupe, basta fazer uma mudança no que vai ficar tudo certinho.
Vamos substituir por naquela série que encontramos como resposta, ok?
Tá muuuuito parecido com a letra , mas tem aquele termo , sendo que na nossa série é . Cara, eles são a mesma coisa! Eles representam a mesma coisa! Então a gente pode substituir: