Se então sua derivada de ordem no zero, é:
Passo 1
Bom, a maneira mais tranquila de resolver essa questão é escrever a nossa função em série!
Por quê? Porque já temos a Fórmula de Taylor que relaciona o termo geral de uma série com a derivada enésima dela, fazer isso é melhor do que ficar fazendo regra do produto infinitamente! Então vamos lá:
A representação do em série é a seguinte:
Então para representar , vamos substituir por na série:
Passo 2
Bom, já que escrevemos como série o termo , vamos voltar para :
Passando o para dentro do somatório:
Vamos juntar os termos semelhantes:
Passo 3
Agora temos a série de potências e temos que descobrir . Existe uma fórmula (Fórmula de Taylor) que relaciona o termo geral com a derivada:
Onde é o ponto onde a função está centrada. Então:
Olha o nosso caso:
Perceba que na nossa função temos . Então vamos apenas substituir na fórmula por :
Outro ponto importante é que a função está centrada em , então:
Então:
Podemos cortar os fatorais, pois
Passo 4
Vamos usar isso para obter :
Substituindo na fórmula:
Sabendo que