Se ∑ n = 1 ∞ b n sen π n x 3 = x , x ∈ [ 0,3 [ Então o valor de b n para n ∈ N é: a b n = 2 - 1 n + 1 π n b b n = 3 - 1 n + 1 π n c b n = 3 - 1 n π n d b n = 6 - 1 n + 1 π n e b n = 6 - 1 n π n Passo 1Bom, pela série de Fourier temos a seguinte relação: ∑ n = 1 ∞ b n sen π n x L = f ( x ) b n = 1 L ∫ - L L f ( x ) sen π n x L d x , n = 1,2 , 3 , … Então vamos aplicar isso aqui, sabendo que L = 3 e que a f ( x ) está definida para x ∈ [ 0,3 [ : b n = 1 3 ∫ - 3 3 x sen π n x 3 d x b n = 2 3 ∫ 0 3 x sen π n x 3 d x Passo 2Aqui vamos usar a integração por partes. Lembra da fórmula? Olha só: ∫ u d v = u v - ∫ v d u Chamando: u = x → d u = d x d v = sen π n x 3 d x → v = - 3 π n cos n π x 3 Ficamos com: 2 3 ∫ 0 3 x sen π n x 3 d x = 2 3 - 3 x π n cos n π x 3 0 3 - ∫ 0 3 - 3 π n cos n π x 3 d x Substituindo valores: 2 3 ∫ 0 3 x sen π n x 3 d x = 2 3 - 9 π n cos 3 n π 3 + 3.0 π n cos 0 + ∫ 0 3 3 π n cos n π x 3 d x Resolvendo a integral e simplificando: 2 3 ∫ 0 3 x sen π n x 3 d x = 2 3 - 9 π n cos n π + 9 π 2 n 2 sen n π x 3 0 3 Substituindo os valores restantes e usando que cos n π = - 1 n 2 3 ∫ 0 3 x sen π n x 3 d x = 2 3 - 9 π n - 1 n + 9 π 2 n 2 sen n π 3 3 - 9 π 2 n 2 sen 0 2 3 ∫ 0 3 x sen π n x 3 d x = 2 3 9 π n - 1 n + 1 + 9 π 2 n 2 sen n π Sabendo que sen n π = 0 para todo n ∈ N : 2 3 ∫ 0 3 x sen π n x 3 d x = 2 3 9 π n - 1 n + 1 2 3 ∫ 0 3 x sen π n x 3 d x = 2 π n 3 - 1 n + 1 Finalmente: b n = 6 - 1 n + 1 π n Resposta d b n = 6 - 1 n + 1 π n MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios Resolvidos de Obtenção da Série de FourierVer TeoriaExercício 1012345678911121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859606162636465666768697071727374757677787980Carregar mais exercícios (80) Exercícios de Livros RelacionadosUma série de Fourier finita é dada pela soma f x = ∑ n = 1 N a n s i n ( n x ) = a 1 sin x + a 2 sin 2 x + … + a N sin N x Mostre que o m - ésimo coeficiente a m é dado pela fórmula a m = 1 π Ver TambémVer tudo sobre CálculoVer tudo sobre Série de Fourier e EDPLista de exercícios de Obtenção da Série de Fourier