Exercícios Resolvidos de Derivação e Integração de Séries de Potência

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Enunciado

A soma da série

∑ n = 1 ∞ n + 1 n x n

Para x ∈ ] - 1,1 [ é:

a ln ⁡ 1 - x + x 1 - x

b ln ⁡ 1 + x + x 1 + x

c - ln ⁡ 1 + x - x 1 + x

d - ln ⁡ 1 - x + x 1 - x

e - ln ⁡ 1 - x - x 1 - x

Passo 1

Bom, a maneira de resolver essa questão é manipular uma série que já conhecemos para aparecer o termo que nos interessa.

1 1 - x = ∑ n = 0 ∞ x n

Se a gente integrar os dois lados com respeito a x :

∫ 1 1 - x d x = ∫ ∑ n = 0 ∞ x n d x

- ln ⁡ 1 - x = ∑ n = 0 ∞ ∫ x n d x

- ln ⁡ 1 - x = ∑ n = 0 ∞ x n + 1 n + 1 = ∑ n = 1 ∞ x n n

Na última igualdade, trocamos n por n - 1 , ok?

Passo 2

Agora vamos dar um jeito de fazer aparecer o termo ( n + 1 ) no numerador. Uma forma seria multiplicar ambos os lados da equação por x e derivar :)

- x ln ⁡ 1 - x = x ∑ n = 1 ∞ x n n

- x ln ⁡ 1 - x = ∑ n = 1 ∞ x n + 1 n

Derivando:

- x ln ⁡ 1 - x ' = ∑ n = 1 ∞ x n + 1 n '

- ln ⁡ 1 - x + x 1 - x = ∑ n = 1 ∞ n + 1 x n n

Prontinho :D

Resposta

d - ln ⁡ 1 - x + x 1 - x

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