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Exercícios Resolvidos de Identidade de Parseval

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Enunciado

Sabe-se que

x π - x = 8 π ∑ n = 1 ∞ sen ⁡ 2 n - 1 x 2 n - 1 3 ,     0 < x < π

O valor de

∑ n = 1 ∞ 1 2 n - 1 6

É:

a   π 4 15

b   π 6 60

c   π 4 64

d   π 4 390

e   π 6 960

Passo 1

Perceba que temos uma função e sua extensão ímpar dela. A função é

f x = x π - x

E sua extensão ímpar é:

8 π ∑ n = 1 ∞ sen ⁡ 2 n - 1 x 2 n - 1 3

Isso estamos considerando para x ∈ ( 0 , π )

Pelo Teorema de Parseval:

1 L ∫ - L L f x 2 d x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n 2 + b n 2

Aplicando isso e sabendo que

a 0 = 0 ,   a n = 0   e   b n = 8 π 2 n - 1 3

1 π ∫ - π π x π - x 2 d x = ∑ n = 1 ∞ 64 π 2 2 n - 1 6

Agora vamos resolver a integral:

2 π ∫ 0 π x 2 π - x 2 d x = 64 π 2 ∑ n = 1 ∞ 1 2 n - 1 6

2 π ∫ 0 π x 2 π 2 - 2 π x + x 2 d x = 64 π 2 ∑ n = 1 ∞ 1 2 n - 1 6

2 π ∫ 0 π π 2 x 2 - 2 π x 3 + x 4 d x = 64 π 2 ∑ n = 1 ∞ 1 2 n - 1 6

2 π π 2 x 3 3 - π x 4 2 + x 5 5 0 π = 64 π 2 ∑ n = 1 ∞ 1 2 n - 1 6

Substituindo valores:

2 π π 2 π 3 3 - π π 4 2 + π 5 5 - 2 π π 2 0 3 - π 0 2 + 0 5 = 64 π 2 ∑ n = 1 ∞ 1 2 n - 1 6

2 π π 5 3 - π 5 2 + π 5 5 = 64 π 2 ∑ n = 1 ∞ 1 2 n - 1 6

π 32 π 5 3 - π 5 2 + π 5 5 = ∑ n = 1 ∞ 1 2 n - 1 6

Finalmente:

∑ n = 1 ∞ 1 2 n - 1 6 = π 6 960

Resposta

e   π 6 960