P2 de Probabilidade e Estatística da PUCRIO - 2017.2

Suponha que o tempo de vida de uma bateria de um determinado fabricante seja modelado por uma variável aleatória exponencial.

1. Experimentos com diversas amostras dessa bateria mostraram que somente 8% delas funcionaram mais do que 250 dias. Mostre como utilizar este dado para estimar o parâmetro da distribuição e aponte um significado para este no caso específico do exemplo.

1. Como você definiria uma aplicação para uma v.a. que segue um modelo exponencial? Dê um exemplo real onde você recomendaria a utilização deste modelo.

b) Seja , “” observações de uma v.a. “”. Qual a condição que estas observações devem satisfazer para que ela seja considerada uma amostra aleatória?

O diâmetro do ponto produzido por uma impressora é normalmente distribuído com uma média de e um desvio padrão de .

1. Qual deve ser o desvio-padrão do diâmetro, para termos uma probabilidade de de o diâmetro não exceder ?

O diâmetro do ponto produzido por uma impressora é normalmente distribuído com uma média de e um desvio padrão de .

1. O departamento de qualidade decidiu amostrar 49 impressoras para verificar seu correto funcionamento, isto é, que o diâmetro do ponto produzido esteja dentro dos critérios de conformidade da produção, e para o qual tolera um erro de com relação a sua média. Qual a probabilidade de que o ponto médio esteja dentro do intervalo de conformidade?

O diâmetro do ponto produzido por uma impressora é normalmente distribuído com uma média de e um desvio padrão de .

1. Qual é a probabilidade do diâmetro desta impressora exceder ?

O diâmetro do ponto produzido por uma impressora é normalmente distribuído com uma média de e um desvio padrão de .

1. Assumindo uma amostra de 10 impressoras, qual a probabilidade de que o menor diâmetro do ponto produzido dentro desta amostra exceda ?

Suponha que o tempo de vida de uma bateria de um determinado fabricante seja modelado por uma variável aleatória exponencial.

1. Suponha que o tempo médio de vida útil de uma outra bateria sendo testada seja igual a 100 dias. Suponha que para detectar um determinado problema com esta bateria seja preciso observá-la por um período de pelo menos 260 dias. Assim sendo, vamos retirar uma amostra aleatória contendo 170 baterias e observar o comportamento delas nos próximos 260 dias (em funcionamento ou com defeito). Qual o valor esperado do número de baterias que encontraremos com defeito após os 260 dias? Explique os passos e os modelos probabilísticos utilizados no seu cálculo.

c) Suponha que e sejam variáveis contínuas, prove que .

A duração da variável aleatória de componentes eletrônicos é às vezes modelada pela densidade Rayleigh, mostrada a seguir.

Onde é constante.

1. Deduza a densidade da v.a. . Pelo resultado, que tipo de distribuição podemos constatar?
2. Ache a e , para .

Seja variável aleatória contínua com a seguinte função de densidade de probabilidade conjunta:

Pede-se:

1. Calcular o Coeficiente de Correlação .
2. Calcular a variância condicional de dado .