Distribuição Exponencial
Suponha que o tempo de vida de uma bateria de um determinado fabricante seja modelado por uma variável aleatória exponencial.
- Suponha que o tempo médio de vida útil de uma outra bateria sendo testada seja igual a 100 dias. Suponha que para detectar um determinado problema com esta bateria seja preciso observá-la por um período de pelo menos 260 dias. Assim sendo, vamos retirar uma amostra aleatória contendo 170 baterias e observar o comportamento delas nos próximos 260 dias (em funcionamento ou com defeito). Qual o valor esperado do número de baterias que encontraremos com defeito após os 260 dias? Explique os passos e os modelos probabilísticos utilizados no seu cálculo.
Passo 1
Letra b)
Se o tempo médio de vida útil é 100 dias:
Passo 2
Vamos analisar a probabilidade de uma bateria dar defeito em menos de 260, ou seja, seu tempo de vida durar menos que isso:
E isso aí que a gente escreveu nada mais é que a FDA de até o ponto 260:
Conhecemos a cara da FDA para distribuições Exponenciais, que é essa aqui:
Então temos que:
Passo 3
Agora vem o pulo do gato!
Vamos criar uma nova v.a.:
E vamos considerar que toda vez que uma bateria tem defeito antes desse tempo, temos um sucesso.
E nós acabamos de calcular a probabilidade de uma bateria dar defeito antes de 260 dias, ou seja, um sucesso! Então temos uma probabilidade de sucesso:
Tá sentindo cheirinho de Binomial??? Porque eu to! Nossa v.a. vai seguir então uma Binomial, com repetições (já que temos 170 baterias!) e probabilidade de sucesso :
E nós queremos calcular o valor esperado do número de baterias com defeitos, ou seja, a esperança de ! Que na Binomial, é dada pela fórmula:
Então pro nosso caso:
A dica aqui tá no “Qual o valor esperado do número de baterias que encontraremos com defeito...”
O enunciado pediu isso pra gente!
E se falou em valor esperado, tá falando de esperança. E se tá falando de esperança, tem que ser em relação a uma variável. Qual variável? A que o próprio enunciado falou entre linhas pra gente: ���Qual o valor esperado do número de baterias que encontraremos com defeito...”! O que vier seguido de “o valor esperado de...” vai ser a própria v.a. que vamos ter que usar :D