c) Suponha que e sejam variáveis contínuas, prove que .
Passo 1
c)
Lembrando que a gente calcula a esperança de uma variável contínua fazendo:
Então para a esperança condicional do enunciado seria:
Porque agora nossa função de densidade é condicional!
E você concorda comigo que isso aí que escrevemos dentro da integral nada mais é que uma função da variável aleatória ? Porque vamos ter várias funções de densidades condicionais ali dentro de “ dado ...”.
E aí a partir disso podemos dizer que a própria esperança condicional vai ser outra variável aleatória, já que vamos ter valores em função de uma v.a. dentro dela.
Passo 2
E agora vai rolar um inception de esperança! Tirando a esperança dos dois lados da equação, se liga no que acontece:
É como se fosse uma v.a. qualquer, que entra na nossa esperança como entra na fórmula normal: multiplicando a função de densidade referente a ele, que agora é em função marginal de !
Substituindo que ta dentro dessa integral pela integral vista no passo 1:
Passo 3
E lembrando da fórmula da função de densidade condicional:
Vamos escrever a condicional dentro do somatório de acordo com a fórmula da condicional:
Cortando as marginais e separando as integrais:
Passo 4
Opa, mas a integral de em relação a vai ser , certo? Já que integrar para todos os que existem, vamos obter a própria função de densidade de .
Imagina assim: vamos integrar todas as probabilidades conjuntas de e em função de , ou seja, vamos somar todas as probabilidades conjuntas para todos os valores de e no final só vão restar as probabilidades de . Então ficamos com:
E olha aí no que chegamos! Na fórmula clássica pra calcular a esperança de , ou seja: