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Exercícios Resolvidos de Probabilidade Conjunta de V.A. Bidimensionais Contínuas

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Enunciado

Seja ( X , Y ) variável aleatória contínua com a seguinte função de densidade de probabilidade conjunta:

f x , y = 6 x ,     0 < x < y < 1 0 ,                 c a s o   c o n t r á r i o

Pede-se:

  1. Calcular o Coeficiente de Correlação ρ ( X , Y ) .
  2. Calcular a variância condicional de Y dado X = x .

Passo 1

Letra a)

Vamos relembrar todas as fórmulas que vamos usar:

ρ X , Y = C o v X , Y σ x . σ y

Onde:

C o v X , Y = E X , Y - E X . E ( Y )

σ x = D P X         e         σ y = D P ( Y )

As fórmulas dessas esperanças e do desvio padrão são:

E X , Y = ∫ - ∞ + ∞ ∫ - ∞ + ∞ x y f x , y d x d y

E X = ∫ - ∞ + ∞ ∫ - ∞ + ∞ x . f ( x , y ) d x d y         e         E Y = ∫ - ∞ + ∞ ∫ - ∞ + ∞ y . f ( x , y ) d x d y

D P X = V a r ( X ) = E X 2 - [ E ( X ) ] ² → o n d e   E X 2 = ∫ - ∞ + ∞ ∫ - ∞ + ∞ x ² . f ( x , y ) d x d y

D P Y = V a r ( Y ) = E Y 2 - [ E ( Y ) ] ² → o n d e   E Y 2 = ∫ - ∞ + ∞ ∫ - ∞ + ∞ y ² . f ( x , y ) d x d y

Socorro!!! Mas já foi, isso aí é tudo que precisamos para calcular o coeficiente de correlação.

Passo 2

Agora vamos raciocinar sobre esse intervalo de integração! A questão diz pra gente que:

0 < x < y < 1

E como vamos botar esses limites nos limites de integração das integrais que vamos fazer?

Reparem comigo que x sempre vai estar entre 0 e y , então:

0 < x < y

Esse aí é o intervalo de integração para a integral em d x .

E y ? Sabemos que ele vai até o 1 , mas onde ele começa? No x , certo? E qual o menor valor possível que x pode ter? Zero! Então esse também vai ser o menor valor possível que y pode assumir. Ou seja:

0 < y < 1

Passo 3

Agora vamos começar nossa série de integrais. Como nossos limites de integração em d x tem uma incógnita y , vamos sempre colocá-lo como a integral de dentro, para podermos integrar esse y que aparecer na função na segunda integral e obtermos um resultado todo numérico! Vamos fazer as integrais pra ficar mais claro...

Começando pelas esperanças:

E X = ∫ - ∞ + ∞ ∫ - ∞ + ∞ x . f ( x , y ) d x d y = ∫ 0 1 ∫ 0 y x . 6 x d x d y = ∫ 0 1 ∫ 0 y 6 x ² d x d y

I n t e g r a l   d e   d e n t r o → 6 x 3 3 0 y = 2 y ³

E ( X ) = ∫ 0 1 2 y ³ d y = 2 y 4 4 0 1 = 1 2

E agora a de Y :

E Y = ∫ - ∞ + ∞ ∫ - ∞ + ∞ y . f ( x , y ) d x d y = ∫ 0 1 ∫ 0 y y . 6 x d x d y = ∫ 0 1 ∫ 0 y 6 x y d x d y

I n t e g r a l   d e   d e n t r o → 6 y x 2 2 0 y = 3 y ³

E ( Y ) = ∫ 0 1 3 y ³ d y = 3 y 4 4 0 1 = 3 4

Agora as ao quadrado:

E X 2 = ∫ - ∞ + ∞ ∫ - ∞ + ∞ x ² . f ( x , y ) d x d y = ∫ 0 1 ∫ 0 y x ² . 6 x d x d y = ∫ 0 1 ∫ 0 y 6 x ³ d x d y

I n t e g r a l   d e   d e n t r o → 6 x 4 4 0 y = 3 y 4 2

E ( X 2 ) = ∫ 0 1 3 y 4 2 d y = 3 y 5 10 0 1 = 3 10

E Y ² = ∫ - ∞ + ∞ ∫ - ∞ + ∞ x ² . f ( x , y ) d x d y = ∫ 0 1 ∫ 0 y y ² . 6 x d x d y = ∫ 0 1 ∫ 0 y 6 y ² x d x d y

I n t e g r a l   d e   d e n t r o → 6 y ² x 2 2 0 y = 3 y 4

E ( Y 2 ) = ∫ 0 1 3 y 4 d y = 3 y 5 5 0 1 = 3 5

E agora a conjunta:

E X , Y = ∫ - ∞ + ∞ ∫ - ∞ + ∞ x y f x , y d x d y = ∫ 0 1 ∫ 0 y x y 6 x   d x d y = ∫ 0 1 ∫ 0 y y 6 x ²   d x d y

R e s o l v e n d o   a   i n t e g r a l   d e   d e n t r o → ∫ 0 y y 6 x ²   d x = y 6 x 3 3 0 y = 2 y 4

E ( X , Y ) = ∫ 0 1 2 y 4   d y = 2 y 5 5 0 1 = 2 5

Passo 4

Agora nossa covariância:

C o v X , Y = E X , Y - E X . E Y = 2 5 - 1 2 . 3 4 = 0,025

Passo 5

Substituindo os valores pra calcular nossos desvios padrões agora:

σ x = E X 2 - [ E ( X ) ] ² = 3 10 - 1 2 2 = 0,05  

σ y = E Y 2 - [ E ( Y ) ] ² = 3 5 - 3 4 2 = 0,0375

Passo 6

Juntando tudo que foi calculado pra achar o coeficiente:

ρ X , Y = C o v X , Y σ x . σ y = 0,025 0,05 0,0375 = 0,5773

Passo 7

Letra b)

A fórmula da variância condicional é:

V a r Y X = x = E Y 2 X = x - [ E Y X = x ] ²

Onde a esperança condicional é:

E Y X = x = ∫ - ∞ + ∞ y f y x d y

E a função de distribuição condicional dentro dessa integral:

f y x = f x , y f x x

E finalmente a distribuição marginal aí no denominador:

f x x = ∫ - ∞ + ∞ f x , y d y

Surra de fórmula de novo nãooo!

Mas agora já acabou, juro.

Passo 8

Começando pela marginal:

f x x = ∫ - ∞ + ∞ f x , y d y = ∫ 0 1 6 x d y = 6 x y 0 1 = 6 x

Então a distribuição condicional fica:

f y x = f x , y f x x = 6 x 6 x = 1

Passo 9

E agora podemos calcular as esperanças condicionais:

E Y X = x = ∫ - ∞ + ∞ y f y x d y = ∫ 0 1 y d y = y 2 2 0 1 = 1 2

E Y 2 X = x = ∫ - ∞ + ∞ y 2 f y x d y = ∫ 0 1 y 2 d y = y 3 3 0 1 = 1 3

Então a variância condicional fica:

V a r Y X = x = E Y 2 X = x - E Y X = x 2 = 1 3 - 1 2 2 = 1 12

Resposta

0,5773

1 1 2

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