Se
representar a “densidade populacional” de certo tipo de bactéria no plano , onde e são medidos em centímetros, encontre a população total de bactérias dentro do retângulo e .
Passo 1
Vamos pensar: se é a densidade populacional em termos de área, representa quantas bactéricas existem por centímetro quadrado em cada ponto . Então, para encontrar a quantidade de bactérias existente em uma área, precisamos integrar a função densidade nessa região, certo? Isso porque densidade vezes área é igual à quantidade de bactérias.
Temos o seguinte:
Onde é o retângulo e .
Passo 2
Vamos desmembrar a integral utilizando o Teorema de Fubini.
Note que o intervalo da integral de fora está de acordo com e o da de dentro, com . E se você quisesse integrar ao contrário? Sem problemas, basta o intervalo estar de acordo.
Passo 3
Agora você deve integrar em relação a ou seja, resolver a integral de dentro (tomando como constante).
Como é constante, podemos tirar da integral, fica assim
Passo 4
Devemos, então, integrar em relação a :
Tirando as constantes da integral
Para fazer essa integral, vamos fazer uma substituição simples
Então ficamos com
Isso nos dá
Voltando para nossa expressão inicial, temos que
Passo 5
Agora, vamos ver a outra integral
Vamos resolver primeiro sem os limites pra organizar melhor
Aqui, vamos fazer a seguinte substituição
Assim
Assim, temos
Voltando para
Agora, olhando para os limites de integração, temos:
Passo 6
Voltando para a integral que tínhamos
Vamos colocar o resultado