Calcule a integral dupla da função sobre o retângulo
Passo 1
Opa, tudo bom? Vamo que vamo pro nosso exercício!
Bom, aqui a questão é bem direta né, precisamos calcular a integral dupla dessa função e o enunciado já nos deu os limites de integração.
Precisamos tomar cuidado aqui de aplicar os limites de em e os de em .
Como assim?
Olha só aqui, se quisermos integrar primeiro em , ou seja , a integral fica assim
Viu que a integral de fora está com os limites de e a integral de dentro com os limites de , né?
Agora se quisermos integrar primeiro em , com , como fica?
Passo 2
Vamos ver nessa questão aqui que é mais fácil integrar primeiro em por causa desse termo , vamos fazer isso então:
Vamos separar a integral em duas pra ficar mais fácil
Passo 3
Vamos começar olhando a primeira integral dupla!
Vamos começar olhando só a integral de dentro
Como estamos integrando em relação a temos isso aqui:
Isso da
Agora vamos pegar isso e aplicar na integral de fora!
Integrando em relação a
Show, achamos a primeira integral mas ainda falta a segunda!
Passo 4
Vamos pra segunda agora
Pra integrar isso aí vamos fazer uma substituição simples
Derivando em relação a
Vamos precisar substituir os limites também, olha só
Voltando pra integral, olha como aparecem todos esses termos aí
Agora sim podemos integrar isso aí
Substituindo os valores dos limites, temos:
Integrando em relação a
Passo 5
Por fim, juntando as duas integrais que calculamos