Calcule o valor da integral dupla

∬ R   x - 3 y 2   d A ,

onde R = { ( x , y ) | 0 ≤ x ≤ 2 ,   1 ≤ y ≤ 2 } .

Passo 1

Vamos começar essa questão desmembrando a integral utilizando o Teorema de Fubini. Então,

∬ R   x - 3 y 2   d A = ∫ 1 2 ∫ 0 2 x - 3 y 2 d x   d y

Note que o intervalo da integral de fora está de acordo com d y e o da de dentro, com d x . E se você quisesse integrar ao contrário? Sem problemas, basta o intervalo estar de acordo:

∫ 0 2 ∫ 1 2 x - 3 y 2 d y   d x

Você encontrará o mesmo valor! Nesse exercício, vamos optar pela 1ª opção, beleza?

Passo 2

Agora devemos integrar em relação a x ,   ou seja, resolver a integral de dentro (tomando y como constante).

∫ 1 2 ∫ 0 2 x - 3 y 2   d x d y

∫ 0 2 x - 3 y 2 d x = ∫ 0 2 x d x - ∫ 0 2 3 y 2 d x

Como 3 y 2   é constante,

∫ 0 2 x - 3 y 2 d x = ∫ 0 2 x d x - 3 y 2 ∫ 0 2 d x

=   x 2 2 x = 0 x = 2 - 3 x y 2 x = 0 x = 2 =

= 2 2 2 - 0 2 2 - 3.2 . y 2 - 3.0 . y 2 =

= 4 2 - ( 6 y 2 ) =

= 2 - 6 y 2

Passo 3

Devemos agora, então, integrar em relação a y , substituindo o valor que encontramos no passo anterior.

∫ 1 2   2 - 6 y 2   d y = ∫ 1 2   2   d y - ∫ 1 2   6 y 2   d y

Colocando as constantes para fora:

∫ 1 2   2 - 6 y 2   d y = 2 ∫ 1 2     d y - 6 ∫ 1 2   y 2   d y

∫ 1 2   2 - 6 y 2   d y = 2 y y = 1 y = 2 - 6 y 3 3 y = 1 y = 2

= 2.2 - 2.1 - 6.2 3 3 - 6.1 3 3 =

= 4 - 2 - 2 ( 8 ) - 2 ( 1 ) =

= 2 - ( 14 ) = - 12

Resposta

- 12

Exercícios Resolvidos de Integrais Duplas sobre Regiões Retangulares

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