Calcule a integral iterada.

∫ 1 3 ∫ 0 1 ( 1 + 4 x y ) d x   d y

Passo 1

Faaala aí, tudo certinho? Vamos seguir com nossos estudos!

Galera, quando a gente tem uma integral dupla, a gente começa separando elas em duas integrais, a de dentro e a de fora:

∫ 1 3 ∫ 0 1 1 + 4 x y   d x d y

A gente começa resolvendo a integral de dentro, como uma integral simples e depois pegamos o resultado e colocamos na integral de fora, belezinha?

Passo 2

Então vamo lá!! Vamos começar olhando a integral de dentro só, que é essa daqui

∫ 0 1 1 + 4 x y   d x

Podemos ver que estamos integrando em relação a x ! Então tudo que não for x pode ser considerado como constante! Podemos separar em duas integrais e jogar as constantes que estão multiplicando pra fora, para ficar mais fácil de ver!

Ficamos com:

∫ 0 1 1   d x + 4 y ∫ 0 1 x   d x

Isso nos dá

x + 4 y x 2 2 0 1

Substituindo x pelos limites que temos, ficamos com

1 + 4 y 1 2 2 - 0 - 4 y 0 2 2

Fazendo umas simplificações, temos

1 + 2 y

Passo 3

Aaaaaa, beleza! Vamos seguir agora pegando esse resultado e aplicando na integral de fora!

Agora, é só resolver a integral simples que restou:

∫ 1 3 1 + 2 y   d y

Integrando isso daí, ficamos com:

y + 2 y 2 2 1 3

Simplificando ficamos com:

y + y 2 1 3

Agora, substituindo os valores temos:

= 3 + 3 2 - 1 - 1 2

= 10

Beleza?

Resposta

10

Exercícios Resolvidos de Integrais Duplas sobre Regiões Retangulares

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