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Exercícios Resolvidos de Integrais Duplas sobre Regiões Retangulares

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Exercício 21345678910

Enunciado

Calcule:

∫ π 2 π ∫ 0 π sen ⁡ x + cos ⁡ y d x d y

Passo 1

Quando nós fazemos a integral de uma soma, a gente pode usar essa propriedade aqui:

∫ f x + g x d x = ∫ f x d x + ∫ g x d x

E isso também vale para as integrais duplas! Então, no nosso caso:

∫ π 2 π ∫ 0 π sen ⁡ x + cos ⁡ y d x d y = ∫ π 2 π ∫ 0 π sen ⁡ x d x d y + ∫ π 2 π ∫ 0 π cos ⁡ y d x d y

Beleza, agora ficamos com duas integrais bem mais simples de calcular. \o/

Passo 2

Vamos começar calculando a primeira:

∫ π 2 π ∫ 0 π sen ⁡ x d x   d y

Temos que:

∫ 0 π sen ⁡ x d x   = - cos ⁡ x x = 0 x = π

Então,

∫ π 2 π - cos ⁡ π - - cos ⁡ 0 d y = ∫ π 2 π - - 1 + ( 1 ) d y = ∫ π 2 π 2 d y

E agora é só integrar o d y :

2 ∫ π 2 π d y = 2 2 π - π = 2 π

Passo 3

Agora vamos para a segunda integral:

∫ π 2 π ∫ 0 π cos ⁡ y d x d y

Quando integramos em relação a x , o cos ⁡ y é uma constante, então vamos começar só integrando o d x quando vai de 0 até π , ou seja,

∫ 0 π cos ⁡ y d x = ( cos ⁡ y ) ∫ 0 π d x = cos ⁡ y π - 0

∫ π 2 π cos ⁡ y π - 0 d y

π ∫ π 2 π cos ⁡ y d y

Passo 4

A integral de c o s ⁡ ( y ) em relação a y é s e n ⁡ ( y ) , ou seja,

π ∫ π 2 π cos ⁡ y d y = π - sen ⁡ x x = 0 x = 2 π

π ∫ π 2 π cos ⁡ y d y = π sen ⁡ 2 π - sen ⁡ π = π 0 - 0 = 0

Agora é só somar os resultados das duas integrais:

I = ∫ π 2 π ∫ 0 π sen ⁡ x + cos ⁡ y d x d y

I = 2 π + 0 = 2 π

Resposta

O valor da integral é 2 π .

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