Calcule:

∫ 0 3 ∫ 0 2 4 - y 2   d y   d x

Passo 1

Fala aiii, tudo bem? Aqui mós vamos integrar primiero em relação a y e depois a x , beleza? Então vamos lá!

Vamos começar integrando em relação a y :

∫ 4 - y 2 d y = ∫ 4 d y - ∫ y 2 d y = ( 4 y ) - y 3 3 + C

Como fizemos primeiro sem intervalo de integração, adicionamos a constante C no final, mas o valor dela não vai ser importante.

Passo 2

Substituindo os limties de integração:

∫ 0 2 4 - y 2 d y = 4 2 - 2 3 3 - 4 0 - 0 3 3

∫ 0 2 4 - y 2 d y = 8 - 8 3 = 16 3

Agora colocamos isso na integral dupla do enunciado:

∫ 0 3 ∫ 0 2 4 - y 2   d y   d x = ∫ 0 3 16 3   d x

Passo 3

Com isso só nos resta calcular uma última integral:

∫ 0 3 16 3   d x

Primeiro tiramos a constante:

16 3 ∫ 0 3 d x = 16 3 x x = 0 x = 3 = 16 3 3 - 0

∫ 0 3 16 3   d x = 16

Resposta

O valor da integral é 16 .

Exercícios Resolvidos de Integrais Duplas sobre Regiões Retangulares

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