Calcule

∬ R   x sen ⁡ y - y e x   d x   d y

onde R = - 1,1 × [ 0 , π / 2 ] .

Passo 1

Faaaaaaaaaaala aí, tranquilo? Vamos seguir com nosso estudo em integrais duplas uhul

A primeira coisa a entender direitinho é esse retângulo R

Ele deu dois intervalos, o primeiro em x e o segundo em y , a ordem é sempre essa não esqueça disso. Então temos que:

x ∈ - 1,1

y ∈ 0 , π 2

Vamos separar a integral dupla em integrais iteradas:

∫ 0 π / 2   ∫ - 1 1 x sen ⁡ y - y e x   d x   d y

Passo 2

Agora, vamos calcular a integral de dentro em relação a x (lembre-se, tome y como constante!)

Vamos focar só nessa integral entre colchetes, por enquanto:

∫ 0 π 2   ∫ - 1 1 x sen ⁡ y - y e x   d x d y =

∫ - 1 1 x sen ⁡ y - y e x   d x

Pra resolver essa integral vamos separar em 2 integrais, lembrando que como tudo que não é x aqui pode ser considerado constante, vamos ter que

s e n y ∫ - 1 1 x   d x - y ∫ - 1 1 e x   d x

Show! Agora vamos resolver essas integrais mais tranquilinhas aí

s e n y ⋅ x 2 2 - 1 1 - y ⋅ e x - 1 1

Então ficamos com

s e n   y 2 1 2 - - 1 2 - y e 1 - e - 1

Aí temos isso aqui, lembrando que e - 1 = 1 e 1

s e n   y 2 1 - 1 - y e 1 - 1 e 1

O nosso primeiro termo vai ficar multiplicado por zero e o segundo vamos fazer a distributiva e ficamos com

s e n   y 2 0 - y e + y e

= - y e + y e

Passo 3

Agora vamos pegar esse resultado e colocar na nossa integral de fora, e ficamos com essa integral aqui:

∫ 0 π 2   - y e + y e   d y

Podemos separar em duas integrais, lembrando que e é uma constante como qualquer outro número, então temos isso aqui

- e ∫ 0 π 2   y   d y + 1 e ∫ 0 π 2   y   d y

Aí integrando isso daí temos

- e ⋅ y 2 2 0 π 2 + 1 e y 2 2 0 π 2

Substituindo isso, temos

- e ⋅ π 2 2 - 0 2 2 + 1 e π 2 2 - 0 2 2

Ficamos com

- e ⋅ π 2 4 2 + 1 e ⋅ π 2 4 2

Agora vamos ajeitar isso daí, com essa dica aqui

π 2 4 2 = π 2 4 ⋅ 1 2 = π 2 8

Então ficamos que nossa integral dupla vale

- e ⋅ π 2 8 + 1 e ⋅ π 2 8

Como a gente tem que π 2 8 nos dois termos da soma, podemos colocar ele em evidência, ficando com:

π 2 8 - e + 1 e

Resposta

π 2 8 - e + 1 e

Exercícios Resolvidos de Integrais Duplas sobre Regiões Retangulares

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