Exercícios Resolvidos de Intervalo de Confiança para Diferença entre Médias

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Enunciado

Uma certa empresa de pesquisa resolveu analisar 2 resultados distintos das alturas dos estudantes de Engenharia Civil da PUC e da UFRJ, tomou-se uma amostra de 20 alunos da PUC e 18 alunos da UFRJ, e obteve os seguintes resultados amostrais:

x ¯ P U C = 1,78   m     ,     s P U C = 0,5   m

x ¯ U F R J = 1,72   m     ,     s U F R J = 0,6   m

O intervalo de confiança para a diferença das médias das duas universidades ( μ P U C - μ U F R J ) ao nível de significância de 90 % . Pelo resultado pode-se afirmar que a média das alturas dos alunos da PUC é estaticamente maior do que a média da UFRJ?

Passo 1

No enunciado a gente tem os dados de média e variância de duas amostras e pedem pra gente fazer um intervalo de confiança pra diferença entre as médias.

Bom a gente sabe que esse tipo de intervalo tem a seguinte cara:

I C = X ¯ - Y ¯ - d ; X ¯ - Y ¯ + d

E que o valor de d é dado por:

d = t 1 - α 2 × s c 1 n + 1 m

Sendo que....

s c = n - 1 s x 2 + m - 1 s y 2 n + m - 2

Só precisamos calcular tudo isso agora!

Passo 2

Vamos começar calculando α e t 1 - α 2   .

Ele quer um intervalo de 90 %   de confiança.

1 - α = 0,90

α = 0,10

Com isso:

t 1 - α 2 = t 0,95

Graus de liberdade       → 20 + 18 - 2 = 36

Procurando na tabela de t   d e   s t u d e n t dá no mesmo que pegar o valor referente na tabela da normal, já que o número de graus de liberdade é maior que 30 .

z 0,95 = 1,64

Passo 3

Calcular s c .

m = 20       e       n = 18

s c = n - 1 s x 2 + m - 1 s y 2 n + m - 2

s c = 17 × 0,6 2 + 19 × 1 = 0,5 ² 36

s c = 3,069

Passo 4

Calcular o d .

d = t 1 - α 2 × s c 1 n + 1 m

d = 1,64 × 3,069 1 18 + 1 20

d = 1,64 × 0,1785

d = 2,132

Passo 5

Completar o intervalo:

I C = X ¯ - Y ¯ - d ; X ¯ - Y ¯ + d

I C = 1,78 - 1,72 ± 1,64 × 0,1785

I C = ( - 0,2327 ; 0,35274 )

Não se pode afirmar que a média é estatisticamente maior já que o zero está contido no intervalo de confiança. Isso significa, por exemplo, que a diferença das médias pode ser zero, ou seja, que elas podem ser iguais.

Resposta

I C = ( - 0,2327 ; 0,35274 )

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