Exercícios Resolvidos de Intervalo de Confiança para Diferença entre Médias

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Enunciado

Em um determinado shopping do Rio de Janeiro, queremos saber se os gastos médios de duas lojas com o mesmo perfil podem ser considerados estatisticamente idênticos.

Tomou-se uma amostra de 12 clientes da loja “A” e de 10 clientes da loja “B”, obteve-se as seguintes estimativas:

L o j a   A :   X - A = R $ 1700,00       S A = R $ 36,00

L o j a   B :   X - B = R $ 1730,00       S B = R $ 29,00

Pede-se:

  1. Encontre o Intervalo de confiança para a diferença das médias da loja “B” para a loja “A” μ B - μ A ao nível de confiança de 99%. Pelo resultado temos evidência para afirmar se existe diferença estatisticamente significativa entre os gastos médios da loja “B” para a loja “A”?
  2. Teste a hipótese de existir ou não diferença entre a variância dos gastos da loja “A” ( σ ² A ) e a variância dos gastos da loja “B” ( σ ² B ), ao nível de significância de 5%.

Mostre claramente o seu desenvolvimento para o teste de hipótese determinando: as hipóteses nula e alternativa, a estatística do teste e a decisão acompanhada de um gráfico da função de probabilidade da estatística do teste, indicando claramente as áreas de rejeição e de aceitação de H 0 .

Passo 1

a)

Lembrando que o IC para diferença entre duas médias de populações diferentes é dado por:

I C = x - B - x - A - t 1 - α 2 × s p 1 n A + 1 n B ; x - B - x - A + t 1 - α 2 × s p 1 n A + 1 n B

Onde:

s p ² = n A - 1 s A 2 + n B - 1 s B 2 n A + n B - 2

Que é nossa “média ponderada” de variâncias!

Passo 2

Começando pelo s p ² :

s p ² = 12 - 1 36 ² + 10 - 1 29 ² 12 + 10 - 2 = 1091,25

Então:

s p = 1091,25 = 33,03

Passo 3

Agora vamos calcular t 1 - α 2 . Como foi pedido um nível de confiança de 99%:

1 - α = 0,99 → α = 0,01

E daí temos que:

t 1 - α 2 = t 1 - 0,01 2 = t 0,995

E nosso grau de liberdade v vai ser:

v = n A + n B - 2 = 12 + 10 - 2 = 20

Procurando t com esses parâmetros na tabela T de Student temos que:

t 0,995 = 2,845

Passo 4

Agora juntando tudo que temos na fórmula do IC:

I C = x - B - x - A - t 1 - α 2 × s p 1 n A + 1 n B ; x - B - x - A + t 1 - α 2 × s p 1 n A + 1 n B

Reparem que a ordem ( x - B - x - A ) que botamos dentro da fórmula respeita a ordem da diferença pedida no enunciado! Substituindo todos os valores:

I C = 1730 - 1700 - 2,845 × 33,03 1 12 + 1 10 ; 1700 - 1730 + 2,845 × 33,03 1 12 + 1 10

I C = ( - 10,2357 ; 70,2357 )

Passo 5

b)

Agora vamos fazer um teste de hipótese da diferença entre duas variâncias. Montando as hipóteses:

H 0 :     σ ² A = σ ² B → σ 2 A σ 2 B = 1

H 1 :     σ ² A ≠ σ ² B → σ 2 A σ 2 B ≠ 1

Teste para diferença entre variâncias bilateral!

Vamos ter que realizar o teste F de Fisher para decidir entre nossas hipóteses!

Passo 6

Começando calculando nosso F t e s t e :

F t e s t e = s A 2 s B 2

F t e s t e = 36 2 29 2 = 1,54

Passo 7

E agora nosso F c r í t i c o , que no caso bilateral são:

F 1 - α 2

Como α - 0,05 :

F α 2 = F 0,025

F 1 - α 2 = F 0,975

E os graus de liberdade v 1 e v 2 serão:

n A - 1   n o   n u m e r a d o r → v 1 = 12 - 1 = 11

n B - 1   n o   d e n o m i n a d o r → v 2 = 10 - 1 = 9

Agora procuramos F 0 , 025 na tabela com 2,5% de área na cauda inferior:

F 0,025 = 0,279

E pra finalizar F 0 , 975 na tabela com 2,5% de área na cauda superior:

F 0,975 = 3,912

Passo 8

E no gráfico isso tudo fica:

Ou seja, nosso F t e s t e caiu na região de aceitação! Então não rejeitamos H 0 , e temos evidências que não existe diferença entre as variâncias.

Resposta

I C = ( - 10,2357 ; 70,2357 )

N ã o   h á   d i f e r e n ç a   e n t r e   a s   v a r i â n c i a s .

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