Exercícios Resolvidos de Método do Ponto Fixo (MPF)

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Enunciado

Encontre o zero de f x = x 3 - 2 x - 5 no intervalo 2,3 com precisão ε = 10 - 5 usando o Método do ponto Fixo. Escolha uma função de iteração apropriada e um ponto inicial x 0 .

Passo 1

Primeiro vamos encontrar uma função de iteração g x = x convergente.

x 3 - 2 x - 5   = 0

x 3 = 2 x + 5

x = 2 x + 5 3

Como g x = x ,

g x = 2 x + 5 3

Beleza, achamos uma função de iteração. Ao invés de usarmos aquele teorema vamos direto para o método e testamos por ele ;)

Passo 2

Vamos tomar como estimativa inicial x 0 = 2

x 0 = 2

ε 1 = ε 2 = 10 - 5

Iteração 1 :

x 1 = g x 0 = 2.080084

Critério de Parada:

x 1 - x 0 = 0.080084 > 10 - 5

f x 1 = 0.160168 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 1 = 2.080084

ε 1 = ε 2 = 10 - 5

Iteração 2 :

x 2 = g x 1 = 2.092351

Critério de Parada:

x 2 - x 1 = 0.012267 > 10 - 5

f x 2 = 0.024534 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 2 = 2.092351

ε 1 = ε 2 = 10 - 5

Iteração 3 :

x 3 = g x 2 = 2.094217

Critério de Parada:

x 3 - x 2 = 0.001866 > 10 - 5

f x 3 = 0.003733 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 3 = 2.094217

ε 1 = ε 2 = 10 - 5

Iteração 4 :

x 4 = g x 3 = 2.094501

Critério de Parada:

x 4 - x 3 = 0.000284 > 10 - 5

f x 4 = 0.000567 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 4 = 2.094501

ε 1 = ε 2 = 10 - 5

Iteração 5 :

x 5 = g x 4 = 2.094544

Critério de Parada:

x 5 - x 4 = 4.3 ∙ 10 - 5 > 10 - 5

f x 5 = 8.6 ∙ 10 - 5 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 5 = 2.094544

ε 1 = ε 2 = 10 - 5

Iteração 6 :

x 6 = g x 5 = 2.09455

Critério de Parada:

x 6 - x 5 = 6 ∙ 10 - 6 < 10 - 5

f x 6 = 1.3 ∙ 10 - 5 > 10 - 5

Pronto, alcançamos o critério de parada! Então nossa aproximação é x - = 2.09455 .

Resposta

x - = 2.09455 .

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Considere a função f(x) = x3 - x - 1 (do Exemplo 19). Resolva-a pelo MPF com função de iteração φ ( x ) = 1 x + 1 x 2 e x 0 = 1 . Justifique seus resultados.
Ao se aplicar o método do ponto fixo (MPF) à resolução de uma equação, obtivemos os seguintes resultados nas iterações indicadas:Escreva o que puder a respeito da raiz procurada.
9. Se a função de iteração do MPF for tal que as condições do Teorema 2 estão satisfeitas:a) mostre que ξ - x kM 1 - M x k - x k - 1 ;b) para que valores de M teremos então que ξ - x kε se x k - x k -