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Exercícios Resolvidos de Método do Ponto Fixo (MPF)

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Exercício 61234578910

Enunciado

Use o método do Ponto Fixo para determinar a solução com precisão de 10 - 3 para a equação x 3 - x - 1 = 0 no intervalo 1,2 . Use x 0 = 1

Passo 1

Primeiro precisamos encontrar uma função de iteração g x = x convergente. Se liga:

x 3 - x - 1 = 0

x 3 = x + 1

x = x + 1 3

Como g x = x ,

g x = x + 1 3

Beleza, achamos uma função de iteração. Agora vamos testar se ela é convergente:

g x = x + 1 3

g ' x = 1 3 x + 1 2 3

g x é contínua em todo R e g ' x é contínua em todo R menos o - 1 .

g ' x = 1 3 x + 1 2 3 < 1 ⇒ 1 < 3 x + 1 2 3 ⇒ 1 3 3 2 < x + 1 ⇒ x > - 0.81

Como nossa raiz está no intervalo 1,2 , não será problema definir um intervalo I centralizado na raiz e que contenha x 0 = 1 obedecendo às condições acima. Logo, essa função converge para a nossa raiz.

Passo 2

x 0 = 1

ε 1 = ε 2 = 0 . 0 0 1

Iteração 1 :

x 1 = g x 0 = 1.2599

Critério de Parada:

x 1 - x 0 = 0.2 599 > 0.0 0 1

f x 1 = 0.2 599 > 0.0 0 1

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 1 = 1.2 599

ε 1 = ε 2 = 0 . 0 01

Iteração 2 :

x 2 = g x 1 = 1.312 3

Critério de Parada:

x 2 - x 1 = 0.052 4 > 0.0 0 1

f x 2 = 0.052 4 > 0.0 0 1

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 2 = 1.312 3

ε 1 = ε 2 = 0 . 0 0 1

Iteração 3 :

x 3 = g x 2 = 1.322 4

Critério de Parada:

x 3 - x 2 = 0.01 01 > 0.0 0 1

f x 3 = 0.01 01 > 0.0 0 1

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 3 = 1.3224

ε 1 = ε 2 = 0.001

Iteração 4 :

x 4 = g x 3 = 1.3243

Critério de Parada:

x 4 - x 3 = 0.0019 > 0.001

f x 4 = 0.0019 > 0.001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 4 = 1.3243

ε 1 = ε 2 = 0.001

Iteração 5 :

x 5 = g x 4 = 1.3246

Critério de Parada:

x 5 - x 4 = 0.0004 < 0.001

f x 5 = 0.0004 < 0.001

Beleza, alcançamos o critério de parada! Então nossa aproximação é x - = 1.3246 .

Resposta

x - = 1.3246 .

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