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Exercícios Resolvidos de Método do Ponto Fixo (MPF)

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Exercício 10123456789

Enunciado

Suponha que a > 0 . Certifique-se que as seguintes funções de iteração:

a φ 1 x = a x

b φ 2 x = 1 2 x + a x

possuem o ponto fixo ξ = a . Qual dessas funções você utilizaria para obter uma aproximação de a pelo Método do Ponto Fixo? Explique sua escolha.

Passo 1

Se a é ponto fixo dessas funções então   φ 1 a =   φ 2 a = a :

φ 1 a = a a = a ∙ a a ∙ a = a

φ 2 a = 1 2 a + a a = 1 2 a + a = a

Beleza, ambas as funções de iteração tem a como ponto fixo.

Passo 2

-

Agora o problema é, qual escolheríamos? O lógico seria escolhermos a que converge para o ponto fixo mais rapidamente certo? E lembra que quanto menor o módulo da derivada da função de iteração mais rápido o método vai convergir? Então queremos a função que tenha a menor derivada no ponto fixo.

φ 1 ' x = - a x 2

φ 1 ' a = a a = 1

Agora para a segunda função:

φ 2 ' x = 1 2 1 - a x 2 = 1 2 - a 2 x 2

φ 2 ' a = 1 2 - a 2 a = 1 2 - 1 2 = 0

A segunda função de iteração tem módulo da derivada igual a zero no ponto fixo! Então ela é a melhor escolha para função de iteração já que converge mais rapidamente.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Considere a função f(x) = x3 - x - 1 (do Exemplo 19). Resolva-a pelo MPF com função de iteração φ ( x ) = 1 x + 1 x 2 e x 0 = 1 . Justifique seus resultados.
Ao se aplicar o método do ponto fixo (MPF) à resolução de uma equação, obtivemos os seguintes resultados nas iterações indicadas:Escreva o que puder a respeito da raiz procurada.
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