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Exercícios Resolvidos de Método do Ponto Fixo (MPF)

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Exercício 81234567910

Enunciado

Seja f x = x - cos ⁡ x . Determine uma função de iteração φ x e um intervalo a , b no qual as iterações do Método do Ponto Fixo convergirão para uma raiz positiva de f . Encontre as soluções com precisão de 10 - 5 .

Passo 1

Vamos usar como função de iteração φ x = x - x 2 + cos ⁡ x 2 = x 2 + cos ⁡ x 2 .

Passo 2

Agora precisamos encontrar um intervalo que contenha alguma raiz:

f 0 = - 1

f 1 ≅ 0 . 46

Então um intervalo é 0,1 .

Temos que φ ' x = 1 2 - sin ⁡ x 2 < 1 para todos os reais.

Logo, nossa função de iteração vai convergir no intervalo 0,1 .

Passo 3

Tomando x 0 = 1 :

x 0 = 1

ε 1 = ε 2 = 10 - 5

Iteração 1 :

x 1 = g x 0 = 0.770151

Critério de Parada:

x 1 - x 0 = 0.229849 > 10 - 5

f x 1 = 0.052346 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 1 = 0.770151

ε 1 = ε 2 = 10 - 5

Iteração 2 :

x 2 = g x 1 = 0.743978

Critério de Parada:

x 2 - x 1 = 0.026173 > 10 - 5

f x 2 = 0.008198 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 2 = 0.743978

ε 1 = ε 2 = 10 - 5

Iteração 3 :

x 3 = g x 2 = 0.739879

Critério de Parada:

x 3 - x 2 = 0.004099 > 10 - 5

f x 3 = 0.001329 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 3 = 0.739879

ε 1 = ε 2 = 10 - 5

Iteração 4 :

x 4 = g x 3 = 0.73921 5

Critério de Parada:

x 4 - x 3 = 0.000665 > 10 - 5

f x 4 = 0.000217 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 4 = 0.73921 5

ε 1 = ε 2 = 10 - 5

Iteração 5 :

x 5 = g x 4 = 0.739106

Critério de Parada:

x 5 - x 4 = 0.000108 > 10 - 5

f x 5 = 3.5 ∙ 10 - 5 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 5 = 0.739106

ε 1 = ε 2 = 10 - 5

Iteração 6 :

x 6 = g x 5 = 0.739089

Critério de Parada:

x 6 - x 5 = 1.8 ∙ 10 - 5 > 10 - 5

f x 6 = 5.7 ∙ 10 - 6 < 10 - 5

Pronto, alcançamos o critério de parada! Então nossa aproximação é x - = 0.739089 .

Resposta

x - = 0.739089

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Considere a função f(x) = x3 - x - 1 (do Exemplo 19). Resolva-a pelo MPF com função de iteração φ ( x ) = 1 x + 1 x 2 e x 0 = 1 . Justifique seus resultados.
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