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Exercícios Resolvidos de Método do Ponto Fixo (MPF)

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Exercício 71234568910

Enunciado

Seja f x = x 3 - 3 x + 1 :

a Mostre que f x possui uma raiz em 0,1 .

b Mostre que φ x = x 3 + 1 3 é uma possível função de iteração obtida a partir de f x .

c Verifique se φ x satisfaz as condições i e i i do Teorema de Convergência.

d Encontre uma estimativa para a raiz de f x através do método do ponto fixo e usando a função φ x do item c tal que f x < 0.007 .

Passo 1

a Para mostrar que f x possui uma raiz nesse intervalo é só compararmos o valor dela nos extremos:

f 0 = 1

f 1 = - 1

f 0 ∙ f 1 < 0

Logo, existe uma raiz em 0,1 .

Passo 2

b Fazendo algumas manipulações algébricas temos:

x 3 - 3 x + 1 = 0

x 3 + 1 = 3 x

x = x 3 + 1 3

φ x = x

φ x = x 3 + 1 3

Pronto, φ x é uma possível função de iteração obtida a partir de f x .

Passo 3

c Vamos começar pela condição i :

φ x = x 3 + 1 3

φ ' x = x 2

Ambas são contínuas em R , logo a condição i é satisfeita.

Condição i i :

φ ' x = x 2 < 1

- 1 < x < 1

Sendo assim, no intervalo 0,1 a função só não satisfaz as condições para o extremo x = 1 .

Passo 4

d Tomando x 0 = 0 :

ε 1 = 0.007

Iteração 1 :

x 1 = g x 0 = 0.3333

Critério de Parada:

f x 1 = 0.037 > 0.007

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 1 = 0.3333

ε 1 = ε 2 = 0.007

Iteração 2 :

x 2 = g x 1 = 0.3457

Critério de Parada:

f x 2 = 0.0042 < 0.007

Fim de papo, alcançamos o critério de parada! Então nossa aproximação é x - = 0.3457 .

Resposta

x - = 0.3457

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Considere a função f(x) = x3 - x - 1 (do Exemplo 19). Resolva-a pelo MPF com função de iteração φ ( x ) = 1 x + 1 x 2 e x 0 = 1 . Justifique seus resultados.
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