MHS
Um bloco de massa , em repouso numa mesa horizontal sem atrito, é ligado a um suporte rígido por duas molas de constante elástica e . Uma bala de massa e velocidade atinge o bloco como mostrado na figura abaixo.
Este sistema de duas molas da figura acima é equivalente a um sistema composto por apenas uma mola cuja constante elástica vale:
- Deduza a expressão .
- A velocidade do bloco imediatamente após a colisão.
- A amplitude do movimento harmônico simples.
Considere e determine em função de , , e :
Passo 1
a):
Vamos deduzir partindo da força resultante que as duas molas fazem sobre o bloco:
Sendo:
Logo:
Beleza! Mas será que existe uma relação entre os s?
Bom, como o bloco não tomba nem vai se deslocar torto, o deslocamento de cada mola deve ser igual! Vamos dar uma olhada na figura:
Caso a caixa tombaria pra frente, por exemplo. Logo:
O deslocamento da força resultante também deve ser igual. Isso acontece por que o significado da associação de molas nos diz que as duas molas poderiam ser substituídas por uma única mola cuja constante é a constante resultante.
E qual seria o deslocamento dessa mola? Fica claro que deveria ser o mesmo que o das duas molas, não é?
Logo:
Passo 2
b):
Vamos resolver essa parte usando a conservação de momento do sistema. O momento se conserva já que se trata de uma colisão.(:
Antes da colisão, a bala tinha velocidade e o bloco tinha velocidade nula, logo, o momento inicial é:
Após a colisão, tanto o bloco quanto a bala se deslocam com a mesma velocidade
Como :
E essa é a velocidade do bloco logo após a colisão!
Passo 3
c):
Aqui você poderia pensar: Vamos procurar uma EDO que descreva o sistema, calcular a sua solução e daí tirar a amplitude do movimento.
Não! Vamos fazer de um jeito mais simples: Por conservação de energia mecânica.
Vamos considerar como o início do movimento o momento que a bala atinge o bloco. Nesse momento, a mola ainda não se comprimiu, logo, a energia mecânica é só a energia cinética recém adquirida pela colisão da bala:
Bom, e depois? Depois disso, o bloco vai comprimir a mola pouco a pouco, até que essa atinja é uma compressão máxima. Essa compressão máxima será, como você deve estar pensando, a amplitude do movimento:
Logo, no fim, a energia mecânica vai ser puramente energia potencial elástica:
Sendo .
Bom, e como a energia se conserva, a energia mecânica inicial será igual à energia mecânica final:
Pronto (:.
Resposta
a):
Demonstração.
b):
c):