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Exercícios Resolvidos de Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt

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Exercício 16123456789101112131415

Enunciado

UFRJ, P3-2019.1

Assinale o conjunto que é uma base ortogonal para o espaço vetorial G = 1 ,   2 ,   3 ,   3 ,   2 ,   1

  1. 1 ,   2 ,   3 ,   - 5 ,   1 ,   1
  2. 1 ,   2 ,   3 ,   4 ,   1 ,   - 2
  3. 1 ,   2 ,   3 ,   6 ,   - 3 ,   0
  4. 1 ,   2 ,   3 ,   - 1 ,   2 ,   - 1

Passo 1

Belezoca galerinha bonita, queremos encontrar uma base ortogonal para o espaço vetorial G = 1 ,   2 ,   3 ,   3 ,   2 ,   1 , ou seja, queremos ortogonalizar essa base 1 ,   2 ,   3 ,   3 ,   2 ,   1 , e pra isso a gente usa aquele processo com o nome bem chique, Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt

Mas a malandragem desse processo, é que ele diz que dado um conjunto de vetores v → 1 ,   v → 2 , primeiro a gente fixa um vetor, por exemplo vamos fixar v → 1 , então o primeiro vetor da base ortogonal é:

g → 1 = v → 1

Então o segundo vetor da base, será uma projeção do vetor v → 2 no complemento ortogonal de v → 1 , desse jeito:

g → 2 = v → 2 - v → 2 ,   g → 1 g → 1 ,   g → 1 g → 1

Passo 2

Irados, então passando para o nosso exercício, vamos ficar o primeiro vetor como:

g → 1 = 1 ,   2 ,   3

Logo, o segundo vetor da base é:

g → 2 = 3 ,   2 ,   1 - 3 ,   2 ,   1 ,   1 ,   2 ,   3 1 ,   2 ,   3 ,   1 ,   2 ,   3 1 ,   2 ,   3

g → 2 = 3 ,   2 ,   1 - 3 + 4 + 3 1 2 + 2 2 + 3 2 1 ,   2 ,   3

g → 2 = 3 ,   2 ,   1 - 10 14 1 ,   2 ,   3

g → 2 = 3 ,   2 ,   1 - 5 7 1 ,   2 ,   3

g → 2 = 16 7 , 4 7 ,   - 8 7  

Ou pra ficar mais bonitinho, a gente pode escrever como:

g → 2 = 4 7 4 ,   1 ,   - 2

Logo podemos reescrever nossa base, como uma base ortogonal, tal que:

G = 1 ,   2 ,   3 ,   4 ,   1 ,   - 2

Nossa resposta certa, é letra (b).

Resposta

Letra (b).

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26. Suponha que o R 3 tenha o produto interno euclidiano. O subespaço de R 3 gerado pelos vetores u → 1 = 4 5 , 0 , - 3 5 e u → 2 = 0,1 , 0 é um plano passando pela origem. Expresse w → = 1,2 , 3 na f
29. Em cada parte, encontre a decomposição QR, se houver.(a) 1 - 1 2 3 (b) 1 2 0 1 1 4 (c) 1 1 - 2 1 2 1 (d) 1 0 2 0 1 1 1 2 0 (e) 1 2 1 1 1 1 0 3 1 (f) 1 0 1 - 1 1 1 1 0 1 - 1 1 1
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32. (Requer Cálculo) Em cada parte, use o Teorema 6.3.2a para expressar o polinômio dado como uma cominação linear dos três primeiros polinômios de Legendre (ver a observação que segue o Exemplo 8).(a