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Exercícios Resolvidos de Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt

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Exercício 41235678910111213141516

Enunciado

Em P 2 ( R ) com o produto interno usual, ortonormalizar a base 1 ,   1 + t ,   2 t 2 .

Passo 1

Usando Gram-Schmidt, vamos chamar a base ortonormal de β = { w 1 ,   w 2 ,   w 3 } , onde:

w 1 = 1

w 2 = 1 + t - 1 + t ,   1 . 1 | 1 + t - 1 + t ,   1 . 1 |

w 3 = 2 t ² - 2 t ² ,   1 . 1 - 2 t ² ,   w 2 . w 2 2 t ² - 2 t ² ,   1 . 1 - 2 t ² ,   w 2 . w 2

Para w 2 e w 3 , primeiro vamos encontrar apenas os numeradores w 2 ' e w 3 ' , sem dividir pela norma, e aí depois vamos dividir pela norma para encontrarmos w 2 e w 3 certo?

Ah, lembrando que no espaço P 2 ( R ) , o produto interno usual é:

∫ 0 1 f t . d t d t

Assim como u ( t ) = ∫ 0 1 u t . u t d t

Então, é isso que vamos usar nos nossos cálculos ;)

Passo 2

Para w 2 ' :

w 2 ' = 1 + t - 1 + t ,   1 . 1

w 2 ' = 1 + t - ∫ 0 1 1 . 1 + t d t

w 2 ' = 1 + t - 3 2

w 2 ' = - 1 2 + t

Normalizando:

w 2 = w 2 ' w 2 '

w 2 = 2 3 t - 1 2

Passo 3

Por fim, para w 3 ' :

w 3 ' = 2 t 2 - 2 t 2 ,   1 . 1 - 2 t 2 ,   2 3 t - 1 2 . 2 3 t - 1 2

w 3 ' = 2 t 2 - ∫ 0 1 2 t 2 d t - ∫ 0 1 2 t 2 2 3 t - 1 2 d t . 2 3 t - 1 2

w 3 ' = 2 t 2 - 2 3 - 1 3 . 2 3 t - 1 2

w 3 ' = 2 t 2 - 2 t + 1 3

Normalizando:

w 3 = 2 t 2 - 2 t + 1 3 ∫ 0 1 2 t 2 - 2 t + 1 3 2 d t    

w 3 = 2 t 2 - 2 t + 1 3 1 3 5

w 3 = 6 5 t 2 - 6 5 t + 5

Então nossa base β vai ser

β = 1 ,   2 3 t - 1 2 ,   6 5 t 2 - 6 5 t + 5  

Resposta

β = 1 ,   2 3 t - 1 2 ,   6 5 t 2 - 6 5 t + 5

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32. (Requer Cálculo) Em cada parte, use o Teorema 6.3.2a para expressar o polinômio dado como uma cominação linear dos três primeiros polinômios de Legendre (ver a observação que segue o Exemplo 8).(a