Seja W = 1 ,   0 ,   1 , 1 2 ,   0 ,   1 ,   - 1 ,   - 1 2 , determine a projeção ortogonal do vetor ( 1 ,   1 ,   0 ,   - 1 ) ∈ R 4 sobre W .

Passo 1

Antes de encontrarmos essa projeção, vamos ortogonalizar a base de W usando Gram-Schmidt, e assim, vamos encontrar uma base ortogonal { w 1 ,   w 2 } na qual vamos calcular a projeção.

Por Gram-Schmidt, temos:

w 1 = 1 ,   0 ,   1 , 1 2

w 2 = 0 ,   1 ,   - 1 ,   - 1 2 - 0 ,   1 ,   - 1 ,   - 1 2 ,   w 1 w 1 ,   w 1 . w 1

Bora fazer esses cálculos então! ;D

Passo 2

w 2 vai ser dado por:

w 2 = 0 ,   1 ,   - 1 ,   - 1 2 - 0 ,   1 ,   - 1 ,   - 1 2 ,   1 ,   0 ,   1 , 1 2 1 ,   0 ,   1 , 1 2 ,   1 ,   0 ,   1 , 1 2 . 1 ,   0 ,   1 , 1 2

w 2 = 0 ,   1 ,   - 1 ,   - 1 2 - - 5 4 9 4 . 1 ,   0 ,   1 , 1 2

Somando os vetores:

w 2 = 5 9 ,   1 ,   - 4 9 , - 2 9

Então, a nossa base ortogonal é 1 ,   0 ,   1 , 1 2 ,   5 9 ,   1 ,   - 4 9 , - 2 9 . Agora é só fazermos a projeção :D

Passo 3

A projeção vai ser:

P b H = ( 1 ,   1 ,   0 ,   - 1 ) ,   1 ,   0 ,   1 , 1 2 1 ,   0 ,   1 , 1 2 ,   1 ,   0 ,   1 , 1 2 1 ,   0 ,   1 , 1 2 + ( 1 ,   1 ,   0 ,   - 1 ) ,   5 9 ,   1 ,   - 4 9 , - 2 9 5 9 ,   1 ,   - 4 9 , - 2 9 ,   5 9 ,   1 ,   - 4 9 , - 2 9 5 9 ,   1 ,   - 4 9 , - 2 9

P b H = - 1 2 9 4 1 ,   0 ,   1 , 1 2 + 16 9 14 9 5 9 ,   1 ,   - 4 9 , - 2 9

Logo:

P b H = 26 63 , 8 7 ,   - 46 63 ,   - 23 63

Resposta

P b H = 26 63 , 8 7 ,   - 46 63 ,   - 23 63

Exercícios Resolvidos de Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt

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