Exercícios Resolvidos de Quádricas com Rotação

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Enunciado

Ache a equação canônica de:

3 x 2 + 2 x y + 3 y 2 = 1

Passo 1

Aqui queremos achar a equação da quádrica numa base em que não apareça o termo misto, pra isso só precisamos calcular os autovalores da matriz associada.

Passo 2

Temos que:

q C a n = 3 1 1 3

Calculando os autovalores:

det ⁡ q C a n - λ I = 0 ⇒ 3 - λ 1 1 3 - λ = 0

3 - λ 2 - 1 = 0

λ 2 - 6 λ + 8 = 0

Logo os autovalores são 4   e 2.

Assim uma equação reduzida da quádrica é:

4 x 2 + 2 y 2 = 1

Resposta

4 x 2 + 2 y 2 = 1

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Por uma conveniente translação de eixos, transformar cada uma das equações seguintes na forma reduzida e identificar a quádrica que ela representa. x 2 + y 2 - 2 y = 0
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Efetuar uma rotação e uma translação de eixos para referir a quádrica ao sistema O ' X Y Z e identifica-la. 3 x 2 + 5 y 2 + 3 z 2 - 2 x y + 2 x z - 2 y z - 4 x + 6 y - 2 z + 2 = 0
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