Considere a quádrica dada por

(a) Determine a equação reduzida (sem termos mistos, nem lineares quando possível) e identifique a quádrica.

(b) Esboce o gráfico da quádrica identificando a origem e os eixos.

Agora vamos precisar diagonalizar a matriz K dada por:

Vamos começar calculando os autovalores. O polinômio característico é:

Os autovalores são as raízes do polinômio característico, ou seja:

Logo, os autovalores são:

Agora vamos calcular os autovetores associado a cada autovalor.

Para :

Os autovetores são então as soluções do sistema:

Temos que:

E pela terceira equação:

Então as soluções são da forma:

E o autoespaço de é gerado por (1,1,0). Normalizando:

Para :

Os autovetores são então as soluções do sistema:

Temos que:

E pela terceira equação:

Então as soluções são da forma:

E o autoespaço de é gerado por (-1,1,0). Normalizando:

Tá acabando, falta só mais um!

Para :

Os autovetores são então as soluções do sistema:

Das duas primeiras equações, tiramos que:

Então as soluções são da forma:

E o autoespaço de é gerado por (0,0,1). Ele já está normalizado! Então:

Agora encontramos a base ortonormal de vetores:

Vamos escrevê-los nas colunas de uma matriz N:

A matriz de autovalores correspondente é:

Então, fazendo uma mudança de variáveis e denotando as novas variáveis por e , vamos ter que a forma matricial da quádrica vai ficar:

Completando quadrados:

Agora fazemos outra mudança de variáveis:

E aí vamos ter a quádrica:

Multiplicando os dois lados por -1:

Como a equação tem 2 sinais negativos do lado esquerdo, ela representa um hiperboloide de duas folhas!

Depois de termos feito todo esse processo de passar para as variáveis e , obtemos um hiperboloide de duas folhas com origem em:

Como havíamos definido:

O ponto equivale a:

Na equação que obtemos, note que o sinal positivo está na variável

Então o hiperboloide vai se abrir ao longo do eixo .

O gráfico vai ficar assim: