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Exercícios Resolvidos de Quádricas com Rotação

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Exercício 812345679101112131415161718

Enunciado

Ache a equação canônica de:

3 x 2 + 2 y 2 - 3 z 2 + 5 y z = 1

E indique a substituição linear utilizada.

Passo 1

Aqui queremos achar a equação da quádrica numa base em que não apareçam os termos mistos,e além disso dizer como as variáveis x 2 , y 2 e z 2 se relacionam com x 1 , y 1   e z 1 . Pra isso precisamos achar a base para a qual passamos quando fazemos a diagonalização da matriz.

Passo 2

Temos que:

q C a n = 3 0 0 0 2 5 2 0 5 2 - 3

Calculando os autovalores:

det ⁡ q C a n - λ I = 3 - λ 0 0 0 2 - λ 5 2 0 5 2 - 3 - λ = 0

- 3 - λ 2 - λ 3 + λ - 25 4 3 - λ = 0

3 - λ λ 2 + λ - 6 - 25 4 = 0

3 - λ λ + 1 - 5 2 2 λ + 1 + 5 2 2 = 0

Logo uma equação reduzida é:

3 x 2 + 5 2 - 1 2 y 2 - 5 2 + 1 2 z 2 = 1

Passo 3

-

Agora os autovetores:

λ = 3

0 0 0 0 - 1 5 2 0 5 2 - 6 x y z = 0 0 0

- y + 5 2 z = 0 5 2 y - 6 z = 0 ⇒ y = 0 z = 0

x 2 = 1 ⇒ x = 1

Logo o autovetor de norma 1 correspondente é e 1 = ( 1,0 , 0 )

λ = 5 2 - 1 2

- 5 2 + 7 2 0 0 0 5 1 - 2 2 5 2 0 5 2 5 - 1 - 2 2 x y z = 0 0 0

x = 0 5 2 y + 5 - 1 - 2 2 z = 0 ⇒ x = 0 y = 1 + 2 z

z 2 + 3 + 2 2 z 2 = 1 ⇒ z = 1 4 + 2 2

Logo o autovetor de norma 1 correspondente é e 2 = 0 , 2 + 1   4 + 2 2 , 1 4 + 2 2

λ = - 5 2 - 1 2

5 2 + 7 2 0 0 0 5 1 + 2 2 5 2 0 5 2 5 - 1 + 2 2 x y z = 0 0 0

x = 0 5 2 y + 5 - 1 + 2 2 z = 0 ⇒ x = 0 y = 1 - 2 z

z 2 + 3 - 2 2 z 2 = 1 ⇒ z = 1 4 - 2 2

Logo o autovetor de norma 1 correspondente é e 3 = 0 , 1 - 2 4 - 2 2 , 1 4 - 2 2

A base de autovetores é então: B = 1,0 , 0 , 0 , 2 + 1   4 + 2 2 , 1 4 + 2 2 , 0 , 1 - 2 4 - 2 2 , 1 4 - 2 2

Assim as substituições lineares são nada mais que os vetores de B   escritos em função dos vetores de C a n :

x 2 = x 1

y 2 = 2 + 1 4 + 2 2 y 1 + 1 4 + 2 2 z 1  

z 2 = 1 - 2 4 - 2 2 y 1 + 1 4 - 2 2 z 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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