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Exercícios Resolvidos de Quádricas com Rotação

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Exercício 171234567891011121314151618

Enunciado

UFPE, Álgebra linear, PF – 2017.1, Questão 5

Considere em R 3 o <   ,   > usual. Observe a quádrica cuja equação na base canônica α é:

- x 2 + 2 y z - y + z = 1

Determine outra base β que diagonalize a parte quadrática. Escreva a equação reduzida (sem termos mistos, nem lineares quando possível) da quádrica em relação a esta base β , e identifique a quádrica.

Passo 1

Bem galera, vamos por partes.

Primeiro vamos passar a equação da nossa quádrica para forma matricial, pois assim vamos conseguir achar os autovalores e autovetores!

A equação geral das quádricas é:

A x 2 + B y 2 + C z 2 + D x y + E x z + F y z + G x + H y + I z + J = 0

E para passar para forma matricial, usamos:

Passando a nossa quádrica ( - x 2 + 2 y z - y + z - 1 = 0 ) para forma matricial, ficamos com:

x     y     z - 1 0 0 0 0 1 0 1 0 x y z + 0   - 1     1 x y z + ( - 1 ) = 0

Passo 2

Com a quádrica na forma matricial, vamos partir para o cálculo dos autovalores!

A fórmula é essa aqui:

K - λ I = 0

Sendo K a matriz - 1 0 0 0 0 1 0 1 0

Substituindo na fórmula,

K - λ I = - 1 - λ 0 0 0 - λ 1 0 1 - λ = 0

- 1 - λ λ 2 - - 1 - λ = 0

- λ 2 - λ 3 + 1 + λ = 0

- 1 - λ λ 2 - 1 = 0

- 1 - λ λ + 1 λ - 1 = 0

Logo,

λ 1 = 1   ou λ 2 = λ 3 = - 1

Passo 3

Com os autovalores conseguimos calcular os autovetores!!

A formulinha é K - λ I v = 0

Para λ 1 = 1 , temos:

- 1 - 1 0 0 0 - 1 1 0 1 - 1 x y z = 0 0 0

- 2 0 0 0 - 1 1 0 1 - 1 x y z = 0 0 0

- 2 x = 0 - y + z = 0 ⇒ x = 0 z = y

Daí podemos escolher qualquer valor para x ,   y ,   z desde que eles satisfaçam a relação ai de cima (lembrando que não vale todo mundo igual a zero!)

Escolhendo y = 1 , temos o vetor   v 1 → = ( 0 ,   1 ,   1 )

Masss esse vetor precisa ser unitário, então basta dividi-lo pela sua norma

v 1 → = 0 , 1 2 , 1 2  

Para λ 2 = λ 3 = - 1 , temos:

- 1 - ( - 1 ) 0 0 0 - ( - 1 ) 1 0 1 - ( - 1 ) x y z = 0 0 0

0 0 0 0 1 1 0 1 1 x y z = 0 0 0

y + z = 0 y + z = 0 ⇒ y = - z  

E x é livre.

Logo podemos ter os vetores 1 ,   0 ,   0 e ( 0 ,   - 1 ,   1 ) .

Tornando-os unitários,

v 2 → = 1 ,   0 ,   0   , v 3 → = 0 ,   - 1 2 , 1 2

Com isso, achamos uma base ortonormal de R 3 formada por autovetores:

β = 0 , 1 2 , 1 2 ,   1 ,   0 ,   0 ,   0 ,   - 1 2 , 1 2

Passo 4

Agora, vamos escrever a equação matricial da quádrica nas novas coordenadas x ' ,   y ' ,   z ' para podermos chegar na equação reduzida e descobrir quem é a nossa quádrica!

A nova fórmula matricia él:

x '     y '     z ' M x ' y ' z ' + G     H     I N x ' y ' z ' + J = 0

Sendo M = λ 1 0 0 0 λ 2 0 0 0 λ 3 e N = ↑ ↑ ↑ v 1 v 2 v 3 ↓ ↓ ↓

CUIDADO: A ordem dos autovalores e autovetores importa, então cuidado para não trocar eles!!

Substituindo tudo,

x '     y '     z ' 1 0 0 0 - 1 0 0 0 - 1 x ' y ' z ' + 0     - 1     1 0 1 0 1 2 0 - 1 2 1 2 0 1 2 x ' y ' z ' - 1 = 0

Agora é só resolver essa equação!

x ' 2 - y ' 2 - z ' 2 + 0 - 1 2   + 1 2         0       0 + 1 2 + 1 2 x ' y ' z ' - 1 = 0

x ' 2 - y ' 2 - z ' 2 + 0       0       2 2 x ' y ' z ' - 1 = 0

x ' 2 - y ' 2 - z ' 2 + 2 2 z ' - 1 = 0

x ' 2 - y ' 2 - z ' 2 - 2 2 z ' = 1

x ' 2 - y ' 2 - z ' - 1 2 2 = 1 - 1 2

x ' 2 - y ' 2 - z ' - 1 2 2 = 1 2

Dividindo tudo por 1 2

2 x ' 2 - 2 y ' 2 - z ' - 1 2 2 = 1

E essa aí é a cara do hiperboloide de 2 folhas!!

Nessa equação conseguimos eliminar todos os termos mistos (aqueles do tipo x y ,   x z ,   y z ) , porém não foi possível eliminar o termo linear de z .

Resposta

β = 0 , 1 2 , 1 2 ,   1 ,   0 ,   0 ,   0 ,   - 1 2 , 1 2

2 x ' 2 - 2 y ' 2 - z ' - 1 2 2 = 1

Hiperbolóide de 2 folhas

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