Seja a quádrica de equação .

a) Reduza a equação de à sua forma normal (também dita forma canônica ou forma reduzida).

Obs: Para efeito da letra (b) a seguir, certifique-se que você ordenou adequadamente a base ortonormal encontrada de modo a garantir uma rotação espacial.

b) Determine a rotação (especificando o eixo orientado e o ângulo de rotação) e a translação (especificando o vetor utilizado para a translação) do sistema de coordenadas que reduzem a equação de à sua forma normal.

Agora vamos diagonalizar a matriz da equação encontrada, dada por

Primeiro vamos calcular os autovalores dela:

As raízes de são e .

Belezinha, agora vamos calcular os autovetores associados a cada autovalor.

Para :

Multiplicando as matrizes, chegamos no sistema:

Então, a solução é da forma .

Então o autoespaço de é gerado por . Normalizando esse vetor, temos o autoespaço:

Agora para :

Isso nos dá o sistema:

Então a solução é da forma . Normalizando esses vetores:

Boa, agora temos uma base ortonormal de vetores .

Vamos escrever essa base nas colunas de uma matriz :

A matriz de autovalores correspondente é

Vamos chamar nossas variáveis de , e . A forma matricial da quádrica, agora que temos a matriz de autovalores e autovetores, vai ficar

Multiplicando as matrizes vamos ter que:

A quádrica além de rotacionada, está trasladada, então vamos completar quadrados:

Pois

Então o nosso termo é

Jogando na nossa equação

Mudando as variáveis para:

Vamos ter que

Boaaa! Isso é a equação de um hiperboloide de uma folha. Como o sinal negativo está no , a figura está ao longo do eixo .

b) O que a gente precisa aqui nada mais é do que dar uma fórmula geralzona pra rotacionar e trasladar uma quádrica em um sistema de coordenadas .

Sabemos que a matriz da base é baseada em

Logo:

São os ângulos de rotação.

Já para completar quadrados, utilizamos na letra a o vetor .